《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

2. 分解因式：
(1)$4b^{2}-(b-c)^{2}$；
(2)$(m+2n)^{2}-(m-2n)^{2}$.

答案： 1. （1）
解：
对于$4b^{2}-(b - c)^{2}$，根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = 2b$，$b=(b - c)$。
则$4b^{2}-(b - c)^{2}=(2b)^{2}-(b - c)^{2}$。
所以$(2b)^{2}-(b - c)^{2}=(2b+(b - c))(2b-(b - c))$。
去括号得$(2b + b - c)(2b - b + c)$。
合并同类项得$(3b - c)(b + c)$。
2. （2）
解：
对于$(m + 2n)^{2}-(m - 2n)^{2}$，根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a=(m + 2n)$，$b=(m - 2n)$。
则$(m + 2n)^{2}-(m - 2n)^{2}=[(m + 2n)+(m - 2n)][(m + 2n)-(m - 2n)]$。
去括号得$(m + 2n+m - 2n)(m + 2n - m + 2n)$。
合并同类项得$(2m)(4n)$。
即$8mn$。
综上，（1）的结果为$(3b - c)(b + c)$；（2）的结果为$8mn$。

1. 因式分解的平方差公式的结构特征是什么？

答案： 1. 左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；
2. 右边是两个数的和与这两个数的差的积，即$(a + b)(a - b)$。

2. 运用提公因式法和平方差公式进行因式分解时要注意什么？

答案： 1. 提公因式法：先确定各项公因式，包括系数的最大公约数和相同字母的最低次幂；提取公因式后，括号内各项为原多项式各项除以公因式的商；公因式为多项式时，整体提取。
2. 平方差公式：需满足两项式，两项符号相反，且每项可化为平方形式；公式为$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，分解后检查是否能继续分解。

1. 分解因式：
(1)$1-36b^{2}$；
(2)$12x^{2}-3y^{2}$；
(3)$0.49p^{2}-144$；
(4)$(2x+y)^{2}-(x+2y)^{2}$；
(5)$x^{2}y-y^{3}$；
(6)$16m^{4}-81n^{4}$.

答案： $1.(1)(1+6b)(1-6b) (2)3(2x+y)(2x-y) (3)(0.7p+12)(0.7p-12) (4)3(x+y)(x-y) (5)y(x+y)(x-y) (6)(4m^{2}+9n^{2})(2m+3n)(2m-3n)$

2. 如图,大小两圆的圆心相同,已知它们的半径分别是 $R$ cm 和 $r$ cm,求它们所围成的环形的面积. 如果 $R = 8.45$,$r = 3.45$ 呢？$(\pi = 3.14)$

答案： 解：环形面积公式为$S = \pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi(R^{2} - r^{2})=\pi(R + r)(R - r)$。
当$R = 8.45$，$r = 3.45$，$\pi = 3.14$时，
$S=3.14×(8.45 + 3.45)×(8.45 - 3.45)$
$=3.14×11.9×5$
$=3.14×59.5$
$=186.83$（$cm^{2}$）
所以环形面积为$\pi(R^{2}-r^{2})$ $cm^{2}$，当$R = 8.45$，$r = 3.45$时环形面积为$186.83cm^{2}$。

研究下列算式,你发现有什么规律？
$3^{2}-1^{2}= 8= 8×1$；
$5^{2}-3^{2}= 16= 8×2$；
$7^{2}-5^{2}= 24= 8×3$；
$9^{2}-7^{2}= 32= 8×4$；
……
请将你找出的规律用公式表示出来,并说明它的正确性.

答案： 提示$:(2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}=8n.$