《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

自学教科书第 $13\sim14$ 页的内容,标注出你认为重要的内容,并解决下列问题.
(1) 如图,直角三角形 $ABC$ 可以用符号表示为Rt△ABC.

(2) 如上图,三角形的两个锐角分别是∠A，∠B,这两个锐角的和等于90度.
(3) 有两个角互余的三角形是直角三角形.

答案：
(1)Rt△ABC；
(2)∠A，∠B；90；
(3)互余

3. 如图,$\angle ACB = 90^{\circ},CD\perp AB$,垂足为 $D$. $\angle ACD$ 与 $\angle B$ 有什么关系? 为什么?

答案： $\angle ACD = \angle B$。
理由如下：
因为$CD \perp AB$，
所以$\angle CDB = 90°$。
因为$\angle ACB = 90°$，
所以$\angle ACD + \angle DCB = 90°$。
因为$\angle CDB = 90°$，
所以$\angle DCB + \angle B = 90°$。
因此，$\angle ACD = \angle B$。

例 如图,$\angle C= \angle D = 90^{\circ},AD,BC$ 相交于点 $E$. $\angle CAE$ 与 $\angle DBE$ 有什么关系? 为什么?

思考:若 $AC$ 和 $BD$ 的延长线交于点 $P$,则 $\angle P$ 与 $\angle AEB$ 有什么关系? 与同伴交流.
变式:如图,$\angle C = 90^{\circ},\angle 1= \angle 2,\triangle ADE$ 是直角三角形吗? 为什么?

答案： 例
解：$\angle CAE=\angle DBE$。
理由如下：
在$\triangle ACE$中，$\angle C = 90^{\circ}$，根据三角形内角和定理$\angle CAE+\angle AEC = 90^{\circ}$（三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle C+\angle CAE+\angle AEC = 180^{\circ}$）。
在$\triangle BDE$中，$\angle D = 90^{\circ}$，同理$\angle DBE+\angle BED = 90^{\circ}$。
又因为$\angle AEC$与$\angle BED$是对顶角，根据对顶角相等，$\angle AEC=\angle BED$。
所以$\angle CAE=\angle DBE$（等角的余角相等）。
思考
解：$\angle P+\angle AEB = 180^{\circ}$。
理由如下：
在四边形$PEAB$中，$\angle P+\angle PEA+\angle EAB+\angle ABP = 360^{\circ}$（四边形内角和为$360^{\circ}$）。
因为$\angle PEA = 180^{\circ}-\angle AEC$，$\angle ABP = 180^{\circ}-\angle ABD$。
由例可知$\angle CAE=\angle DBE$，即$\angle EAB=\angle ABD$，$\angle AEC=\angle BED$。
$\angle AEB = 180^{\circ}-\angle AEC-\angle BED$，又$\angle AEC=\angle BED$，设$\angle AEC = \angle BED=\alpha$，$\angle EAB=\angle ABD=\beta$。
$\angle P+(180^{\circ}-\alpha)+\beta+(180^{\circ}-\beta)=360^{\circ}$，化简得$\angle P = 2\alpha$。
$\angle AEB = 180^{\circ}- 2\alpha$，所以$\angle P+\angle AEB=180^{\circ}$。
变式
解：$\triangle ADE$是直角三角形。
理由如下：
因为$\angle C = 90^{\circ}$，所以$\angle 1+\angle AED=90^{\circ}$（直角三角形两锐角互余）。
又因为$\angle 1=\angle 2$，所以$\angle 2+\angle AED = 90^{\circ}$。
在$\triangle ADE$中，根据三角形内角和定理$\angle ADE=180^{\circ}-(\angle 2+\angle AED)=90^{\circ}$。
所以$\triangle ADE$是直角三角形。

1. 如图, 在 $\triangle ABC$ 中,$\angle C= \angle ABC = 2\angle A,BD$ 是边 $AC$ 上的高. 求 $\angle DBC$ 的度数.

答案： 18°