《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

2. 如图,点C在∠AOB的边OB上,利用直尺和圆规过点C作射线OA的平行线CD.

答案： 1. 以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA于点M，交OB于点N；
2. 以点C为圆心，OM长为半径画弧，交OB于点P；
3. 以点P为圆心，MN长为半径画弧，交前弧于点Q；
4. 过点C、Q作射线CD。
则CD即为所求作的射线OA的平行线。

3. 已知线段a和∠α,求作△ABC,使AB = AC = a,∠A = ∠α.

答案： ①作∠MAN＝∠α；
②在AM上截取AB＝a，在AN上截取AC＝a；
③连接BC。
则△ABC就是所求作的三角形。

1. 如图,已知△ABC,利用直尺和圆规作△ABD,使∠BAD = ∠BAC,AD = AC(点D与点C在AB的不同侧).

答案： 解：
1. 以$A$为圆心，$AC$长为半径画弧。
2. 以$A$为顶点，$AB$为一边，作$\angle BAD=\angle BAC$，$AD$与上述弧交于点$D$。
3. 连接$BD$，则$\triangle ABD$即为所求。
理由：
在$\triangle ABC$和$\triangle ABD$中，
$\begin{cases}AD = AC\\\angle BAD=\angle BAC\\AB = AB\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）定理，$\triangle ABC\cong\triangle ABD$。

2. 已知线段a,直角α和锐角β,求作直角△ABC,使∠C = ∠α,∠A = ∠β,AC = a.

答案： 1. 作线段AC = a。
2. 过点C作CD⊥AC，垂足为C。
3. 以A为顶点，AC为一边，在AC同侧作∠CAE = β，射线AE交CD于点B。
4. 连接AB。△ABC即为所求直角三角形。

3. 用直尺和圆规画图：
(1)如图,以B为顶点,射线BC为一边,画∠EBC,使∠EBC = ∠DAC.
(2)在所画图中,BE与AD平行吗？为什么？

答案： 1. （1）
步骤：
以$A$为圆心，任意长为半径画弧，交$AD$于$M$，交$AC$于$N$；
以$B$为圆心，$AM$长为半径画弧，交$BC$于$P$；
以$P$为圆心，$MN$长为半径画弧，交前弧于$Q$；
过$B$作射线$BE$，则$\angle EBC=\angle DAC$。
2. （2）
解：$BE// AD$。
理由：
因为$\angle EBC = \angle DAC$，根据“同位角相等，两直线平行”（同位角的定义：两条直线$a$，$b$被第三条直线$c$所截（或说$a$，$b$相交$c$），在截线$c$的同旁，被截两直线$a$，$b$的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角），$\angle EBC$与$\angle DAC$是同位角，所以$BE// AD$（$\angle EBC$和$\angle DAC$是直线$BE$、$AD$被直线$AC$所截得的同位角，且$\angle EBC=\angle DAC$，根据平行线判定定理$1$：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，可表示为$\because\angle EBC = \angle DAC$，$\therefore BE// AD$）。

如图,已知线段AB,小明用三角尺画出如下的图形：

(1)直线MN与线段AB垂直吗？
(2)AD与BD相等吗？
对于上面的结论是否正确？如果正确,请进行证明.

答案：
(1)垂直
(2)相等