《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

例1 计算：
(1)$\frac{2}{3}x^{3}y^{2}\cdot(\frac{3}{2}xy^{2})^{2}\cdot(\frac{2}{3}x)$；
(2)$[(-a)^{5})^{4}÷ a^{12}]^{2}\cdot(-2a^{4})$.

答案：
(1)
首先，计算$(\frac{3}{2}xy^{2})^{2}$：
根据积的乘方公式$(ab)^n = a^n b^n$，可得$(\frac{3}{2}xy^{2})^{2}=(\frac{3}{2})^{2}x^{2}(y^{2})^{2}=\frac{9}{4}x^{2}y^{4}$。
然后，计算$\frac{2}{3}x^{3}y^{2}\cdot\frac{9}{4}x^{2}y^{4}\cdot\frac{2}{3}x$：
根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，可得：
$\frac{2}{3}x^{3}y^{2}\cdot\frac{9}{4}x^{2}y^{4}\cdot\frac{2}{3}x = (\frac{2}{3}×\frac{9}{4}×\frac{2}{3})x^{3 + 2+1}y^{2 + 4}=x^{6}y^{6}$。
(2)
首先，计算$((-a^{5})^{4}÷ a^{12})^{2}$：
根据幂的乘方公式$(a^m)^n = a^{mn}$，可得$(-a^{5})^{4}=(-1)^{4}(a^{5})^{4}=a^{20}$。
再根据同底数幂的除法公式$a^m÷ a^n = a^{m - n}$，可得$a^{20}÷ a^{12}=a^{20 - 12}=a^{8}$。
最后根据幂的乘方公式，可得$(a^{8})^{2}=a^{16}$。
接着，计算$a^{16}\cdot(-2a^{4})$：
根据同底数幂的乘法公式$a^m\cdot a^n = a^{m + n}$，可得$a^{16}\cdot(-2a^{4})=-2a^{16 + 4}=-2a^{20}$。
综上，答案依次为：
(1)$x^{6}y^{6}$；
(2)$-2a^{20}$。

例2 计算：
(1)$4(x + 1)^{2}-(2x + 5)(2x - 5)$；
(2)$2x(\frac{1}{2}x^{2}-1)-3x(\frac{1}{3}x^{2}+\frac{2}{3})$；
(3)$3(y - z)^{2}-(2y + z)(-z + 2y)$；
(4)$[x(x^{2}y^{2}-xy)-y(x^{2}-x^{2}y)]÷3x^{2}y$.

答案：
(1)
首先，根据完全平方公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，将$4(x + 1)^{2}$展开：
$4(x + 1)^{2} = 4(x^{2} + 2x + 1) = 4x^{2} + 8x + 4$，
接着，根据平方差公式$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$，将$(2x + 5)(2x - 5)$展开：
$(2x + 5)(2x - 5) = 4x^{2} - 25$，
最后，将两部分相减：
$4x^{2} + 8x + 4 - (4x^{2} - 25) = 8x + 29$。
(2)
首先，对$2x(\frac{1}{2}x^{2}-1)$进行展开：
$2x(\frac{1}{2}x^{2}-1) = x^{3} - 2x$，
接着，对$3x(\frac{1}{3}x^{2}+\frac{2}{3})$进行展开：
$3x(\frac{1}{3}x^{2}+\frac{2}{3}) = x^{3} + 2x$，
最后，将两部分相减：
$x^{3} - 2x - (x^{3} + 2x) = -4x$。
(3)
首先，根据完全平方公式，将$3(y - z)^{2}$展开：
$3(y - z)^{2} = 3(y^{2} - 2yz + z^{2}) = 3y^{2} - 6yz + 3z^{2}$，
接着，注意到$(2y + z)(-z + 2y)$可以看作是平方差公式的变形，即：
$(2y + z)(2y - z) = 4y^{2} - z^{2}$，
最后，将两部分相减：
$3y^{2} - 6yz + 3z^{2} - (4y^{2} - z^{2}) = -y^{2} - 6yz + 4z^{2}$。
(4)
首先，对$x(x^{2}y^{2}-xy)$进行展开：
$x(x^{2}y^{2}-xy) = x^{3}y^{2} - x^{2}y$，
接着，对$y(x^{2}-x^{2}y)$进行展开：
$y(x^{2}-x^{2}y) = x^{2}y - x^{2}y^{2}$，
将两部分相减得到被除数：
$x^{3}y^{2} - x^{2}y - (x^{2}y - x^{2}y^{2}) = x^{3}y^{2} - 2x^{2}y + x^{2}y^{2}$，
最后，进行除法运算：
$\frac{x^{3}y^{2} - 2x^{2}y + x^{2}y^{2}}{3x^{2}y} = \frac{1}{3}xy - \frac{2}{3} + \frac{1}{3}y$。

例3 先化简,再求值：
(1)$2x(x^{2}-x + 1)-x(2x^{2}+2x - 3)$,其中$x = -\frac{1}{2}$；
(2)$(2x-\frac{1}{2}y)(2x+\frac{1}{2}y)-(2x-\frac{1}{2}y)^{2}$,其中$x= \frac{1}{4}$,$y = -1$.

答案：
(1)
首先对式子$2x(x^{2}-x + 1)-x(2x^{2}+2x - 3)$进行化简：
$\begin{aligned}&2x(x^{2}-x + 1)-x(2x^{2}+2x - 3)\\=&2x^{3}-2x^{2}+2x-(2x^{3}+2x^{2}-3x)\\=&2x^{3}-2x^{2}+2x - 2x^{3}-2x^{2}+3x\\=&(2x^{3}-2x^{3})+(-2x^{2}-2x^{2})+(2x + 3x)\\=& - 4x^{2}+5x\end{aligned}$
当$x = -\frac{1}{2}$时，代入$-4x^{2}+5x$可得：
$\begin{aligned}&-4×(-\frac{1}{2})^{2}+5×(-\frac{1}{2})\\=&-4×\frac{1}{4}-\frac{5}{2}\\=&-1-\frac{5}{2}\\=&-\frac{7}{2}\end{aligned}$
(2)
先对式子$(2x-\frac{1}{2}y)(2x+\frac{1}{2}y)-(2x-\frac{1}{2}y)^{2}$进行化简：
根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，可得$(2x-\frac{1}{2}y)(2x+\frac{1}{2}y)=(2x)^{2}-(\frac{1}{2}y)^{2}=4x^{2}-\frac{1}{4}y^{2}$。
根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，可得$(2x-\frac{1}{2}y)^{2}=(2x)^{2}-2×2x×\frac{1}{2}y+(\frac{1}{2}y)^{2}=4x^{2}-2xy+\frac{1}{4}y^{2}$。
则$(2x-\frac{1}{2}y)(2x+\frac{1}{2}y)-(2x-\frac{1}{2}y)^{2}$
$\begin{aligned}&(4x^{2}-\frac{1}{4}y^{2})-(4x^{2}-2xy+\frac{1}{4}y^{2})\\=&4x^{2}-\frac{1}{4}y^{2}-4x^{2}+2xy-\frac{1}{4}y^{2}\\=&(4x^{2}-4x^{2})+2xy+(-\frac{1}{4}y^{2}-\frac{1}{4}y^{2})\\=&2xy-\frac{1}{2}y^{2}\end{aligned}$
当$x = \frac{1}{4}$，$y = - 1$时，代入$2xy-\frac{1}{2}y^{2}$可得：
$\begin{aligned}&2×\frac{1}{4}×(-1)-\frac{1}{2}×(-1)^{2}\\=&-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\\=& - 1\end{aligned}$
综上，
(1)的值为$-\frac{7}{2}$；
(2)的值为$-1$。

例4 已知$a^{m}= 6$,$a^{n}= 3$.,求$a^{m + 2n}$,$a^{2m - 3n}$的值.

答案： 解：
1. 求$a^{m + 2n}$的值
$ a^{m + 2n} = a^m \cdot a^{2n} = a^m \cdot (a^n)^2 $
代入$a^m = 6$，$a^n = 3$：
$ a^{m + 2n} = 6 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54 $
2. 求$a^{2m - 3n}$的值
$ a^{2m - 3n} = a^{2m} ÷ a^{3n} = (a^m)^2 ÷ (a^n)^3 $
代入$a^m = 6$，$a^n = 3$：
$ a^{2m - 3n} = 6^2 ÷ 3^3 = 36 ÷ 27 = \frac{4}{3} $
结论：$a^{m + 2n} = 54$，$a^{2m - 3n} = \frac{4}{3}$。