《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

自学教科书第 131~132 页的内容,标注出你认为重要的内容,并解决下列问题.
1. 利用提公因式法分解因式时,需要注意什么?
2. 利用公式法分解因式时,需要注意什么?
3. 分解因式,要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

答案： 1. 见解析；2. 见解析；3. 再分解

例 1 分解因式:
(1) $ x^{4}-y^{4} $; (2) $ a^{3}b - ab $.

答案：
(1) $x^{4}-y^{4}$
$=(x^{2})^{2}-(y^{2})^{2}$
$=(x^{2}+y^{2})(x^{2}-y^{2})$
$=(x^{2}+y^{2})(x+y)(x-y)$
(2) $a^{3}b - ab$
$=ab(a^{2}-1)$
$=ab(a+1)(a-1)$

例 2 分解因式:
(1) $ 3ax^{2}+6axy + 3ay^{2} $;
(2) $ -ax^{2}+2a^{2}x - a^{3} $.

答案：
(1)
首先，提公因式$3a$，可得：
$3ax^{2} + 6axy + 3ay^{2} = 3a(x^{2} + 2xy + y^{2})$
观察括号内的多项式，它是一个完全平方公式，即：
$x^{2} + 2xy + y^{2} = (x + y)^{2}$
所以，
$3ax^{2} + 6axy + 3ay^{2} = 3a(x + y)^{2}$
(2)
首先，提公因式$-a$，可得：
$-ax^{2} + 2a^{2}x - a^{3} = -a(x^{2} - 2ax + a^{2})$
观察括号内的多项式，它也是一个完全平方公式，即：
$x^{2} - 2ax + a^{2} = (x - a)^{2}$
所以，
$-ax^{2} + 2a^{2}x - a^{3} = -a(x - a)^{2}$

1. 分解因式:
(1) $ x^{2}y - 4y $; (2) $ a^{3}-2a^{2}+a $;
(3) $ ax^{2}+2a^{2}x + a^{3} $; (4) $ 81 - m^{4} $;
(5) $ 3a - 6ax + 3ax^{2} $;
(6) $ -4bx^{2}+8bxy - 4by^{2} $.

答案： 1.
(1)$y(x+2)(x-2)$
(2)$a(a-1)^{2}$
(3)$a(x+a)^{2}$
(4)$(9+m^{2})(3+m)(3-m)$
(5)$3a(1-x)^{2}$
(6)$-4b(x-y)^{2}$