《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

自学教科书第 143 页的内容,标注出你认为重要的内容,并解决下列问题.
(1) 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫作分式的通分.
(2) 一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,它叫作最简公分母.

答案：
(1)相等；
(2)最高次幂

例 1 通分:
(1) $\frac{3}{2a^{2}b}与\frac{a - b}{3ab^{2}c}$;
(2) $\frac{2x}{x^{2} - 25}与\frac{3x}{x + 5}$.

答案：
(1)
最简公分母为 $6a^{2}b^{2}c$。
$\frac{3}{2a^{2}b} = \frac{3 × 3bc}{2a^{2}b × 3bc} = \frac{9bc}{6a^{2}b^{2}c}$；
$\frac{a - b}{3ab^{2}c} = \frac{(a - b) × 2a}{3ab^{2}c × 2a} = \frac{2a(a - b)}{6a^{2}b^{2}c}$。
(2)
最简公分母为 $(x + 5)(x - 5)$。
$\frac{2x}{x^{2} - 25} = \frac{2x}{(x + 5)(x - 5)}$（因为 $x^{2} - 25 = (x + 5)(x - 5)$）；
$\frac{3x}{x + 5} = \frac{3x(x - 5)}{(x + 5)(x - 5)} = \frac{3x^{2} - 15x}{(x + 5)(x - 5)}$。

例 2 通分: $\frac{1}{x^{2} - y^{2}}$, $\frac{1}{x^{2} + 2xy + y^{2}}$, $\frac{1}{x^{2} + xy}$.

答案： 1. 对各分母因式分解：
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$
$x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$
$x^2 + xy = x(x + y)$
2. 确定最简公分母：$x(x - y)(x + y)^2$
3. 通分各分式：
$\frac{1}{x^2 - y^2} = \frac{x(x + y)}{x(x - y)(x + y)^2} = \frac{x^2 + xy}{x(x - y)(x + y)^2}$
$\frac{1}{x^2 + 2xy + y^2} = \frac{x(x - y)}{x(x - y)(x + y)^2} = \frac{x^2 - xy}{x(x - y)(x + y)^2}$
$\frac{1}{x^2 + xy} = \frac{(x - y)(x + y)}{x(x - y)(x + y)^2} = \frac{x^2 - y^2}{x(x - y)(x + y)^2}$
最终通分结果为：
$\frac{x^2 + xy}{x(x - y)(x + y)^2}$，$\frac{x^2 - xy}{x(x - y)(x + y)^2}$，$\frac{x^2 - y^2}{x(x - y)(x + y)^2}$

1. 通分:
(1) $\frac{x}{ab}与\frac{y}{bc}$; (2) $\frac{2c}{bd}与\frac{3ac}{4b^{2}}$;
(3) $\frac{x}{a(x + 2)}与\frac{y}{b(x + 2)}$;
(4) $\frac{2xy}{(x + y)^{2}}与\frac{x}{x^{2} - y^{2}}$;
(5) $\frac{x - y}{2x + 2y}与\frac{xy}{(x + y)^{2}}$;
(6) $\frac{2mn}{4m^{2} - 9}与\frac{2m - 3}{2m + 3}$.

答案： 1. （1）
解：先找最简公分母，$ab$与$bc$的最简公分母是$abc$。
$\frac{x}{ab}=\frac{x\cdot c}{ab\cdot c}=\frac{cx}{abc}$；
$\frac{y}{bc}=\frac{y\cdot a}{bc\cdot a}=\frac{ay}{abc}$。
2. （2）
解：$bd$与$4b^{2}$的最简公分母是$4b^{2}d$。
$\frac{2c}{bd}=\frac{2c\cdot4b}{bd\cdot4b}=\frac{8bc}{4b^{2}d}$；
$\frac{3ac}{4b^{2}}=\frac{3ac\cdot d}{4b^{2}\cdot d}=\frac{3acd}{4b^{2}d}$。
3. （3）
解：$a(x + 2)$与$b(x + 2)$的最简公分母是$ab(x + 2)$。
$\frac{x}{a(x + 2)}=\frac{x\cdot b}{a(x + 2)\cdot b}=\frac{bx}{ab(x + 2)}$；
$\frac{y}{b(x + 2)}=\frac{y\cdot a}{b(x + 2)\cdot a}=\frac{ay}{ab(x + 2)}$。
4. （4）
解：因为$x^{2}-y^{2}=(x + y)(x - y)$，所以$(x + y)^{2}$与$x^{2}-y^{2}$的最简公分母是$(x + y)^{2}(x - y)$。
$\frac{2xy}{(x + y)^{2}}=\frac{2xy\cdot(x - y)}{(x + y)^{2}\cdot(x - y)}=\frac{2xy(x - y)}{(x + y)^{2}(x - y)}$；
$\frac{x}{x^{2}-y^{2}}=\frac{x\cdot(x + y)}{(x + y)(x - y)\cdot(x + y)}=\frac{x(x + y)}{(x + y)^{2}(x - y)}$。
5. （5）
解：因为$2x + 2y = 2(x + y)$，所以$2(x + y)$与$(x + y)^{2}$的最简公分母是$2(x + y)^{2}$。
$\frac{x - y}{2x + 2y}=\frac{(x - y)\cdot(x + y)}{2(x + y)\cdot(x + y)}=\frac{(x - y)(x + y)}{2(x + y)^{2}}$；
$\frac{xy}{(x + y)^{2}}=\frac{xy\cdot2}{(x + y)^{2}\cdot2}=\frac{2xy}{2(x + y)^{2}}$。
6. （6）
解：因为$4m^{2}-9=(2m + 3)(2m - 3)$，所以$4m^{2}-9$与$2m + 3$的最简公分母是$4m^{2}-9$。
$\frac{2mn}{4m^{2}-9}$保持不变；
$\frac{2m - 3}{2m + 3}=\frac{(2m - 3)\cdot(2m - 3)}{(2m + 3)\cdot(2m - 3)}=\frac{(2m - 3)^{2}}{4m^{2}-9}$。