《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

自学教科书第 $128 \sim 129$ 页的内容,标注出你认为重要的内容,并解决下列问题.
(1)平方差公式：$a^{2}-b^{2}=$$(a + b)(a - b)$. 即两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.
(2)平方差公式的特点：
① 左边是二项式,两项都能写成平方的形式,而且符号相反；
② 右边是两个数的和与这两个数的差的积.

答案：
(1) $(a + b)(a - b)$；和；差；

1. 下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？
(1)$x^{2}+y^{2}$； (2)$x^{2}-y^{2}$；
(3)$-x^{2}+y^{2}$； (4)$-x^{2}-y^{2}$.

答案： 答题卡：
(1) 不能。
因为$x^{2} + y^{2}$没有差的形式，不满足平方差公式$a^{2} - b^{2}$的特征。
(2) 能。
$x^{2} - y^{2} = (x + y)(x - y)$，满足平方差公式，其中$a = x$，$b = y$。
(3) 能。
$-x^{2} + y^{2} = y^{2} - x^{2} = (y + x)(y - x)$，满足平方差公式，其中$a = y$，$b = x$。
(4) 不能。
因为$-x^{2} - y^{2} = -(x^{2} + y^{2})$，没有差的形式，不满足平方差公式的特征。
结论：
(1) 不能；
(2) 能；
(3) 能；
(4) 不能。

例 1 分解因式：
(1)$4x^{2}-9$；
(2)$a^{2}-25b^{2}$.

答案： 答题卡：
(1) 解：
原式 $4x^{2} - 9$
= $(2x)^{2} - 3^{2}$
= $(2x + 3)(2x - 3)$
(2) 解：
原式 $a^{2} - 25b^{2}$
= $a^{2} - (5b)^{2}$
= $(a + 5b)(a - 5b)$

例 2 分解因式：
(1)$x^{2}-y^{4}$；
(2)$(x+p)^{2}-(x+q)^{2}$.

答案：
(1)原式$=(x)^{2}-(y^{2})^{2}=(x+y^{2})(x-y^{2})$
(2)原式$=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q)$

1. 分解因式：
(1)$36-m^{2}$；
(2)$49n^{2}-1$；
(3)$a^{2}-\frac{1}{25}b^{2}$；
(4)$81a^{2}-16b^{4}$；
(5)$x^{2}y-4y$；
(6)$-a^{4}+16$.

答案： $1.(1)(6+m)(6-m) (2)(7n+1)(7n-1) (3)(a+\frac{1}{5}b)(a-\frac{1}{5}b) (4)(9a+4b^{2})(9a-4b^{2}) (5)y(x+2)(x-2) (6)(a^{2}+4)(2+a)(2-a)$