《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

1. 分解因式：
(1)$15a^{3} + 10a^{2}$；
(2)$12abc - 3bc^{2}$；
(3)$6p(p + q) - 4q(p + q)$；
(4)$m(a - 3) + 2(3 - a)$.

答案： 1. （1）
解：
对于$15a^{3}+10a^{2}$，先找出公因式$5a^{2}$。
根据提公因式法$ma+mb = m(a + b)$（这里$m = 5a^{2}$，$a=3a$，$b = 2$），则$15a^{3}+10a^{2}=5a^{2}(3a + 2)$。
2. （2）
解：
对于$12abc-3bc^{2}$，公因式为$3bc$。
由提公因式法$ma - mb=m(a - b)$（这里$m = 3bc$，$a = 4a$，$b=c$），可得$12abc-3bc^{2}=3bc(4a - c)$。
3. （3）
解：
对于$6p(p + q)-4q(p + q)$，公因式是$2(p + q)$。
根据提公因式法$ma-mb=m(a - b)$（这里$m = 2(p + q)$，$a = 3p$，$b = 2q$），则$6p(p + q)-4q(p + q)=2(p + q)(3p-2q)$。
4. （4）
解：
先将$m(a - 3)+2(3 - a)$变形为$m(a - 3)-2(a - 3)$。
此时公因式为$(a - 3)$。
根据提公因式法$ma-mb=m(a - b)$（这里$m=(a - 3)$，$a = m$，$b = 2$），可得$m(a - 3)-2(a - 3)=(a - 3)(m - 2)$。
综上，答案依次为：（1）$5a^{2}(3a + 2)$；（2）$3bc(4a - c)$；（3）$2(p + q)(3p-2q)$；（4）$(a - 3)(m - 2)$。

2. 分解因式：
(1)$1 - 4x^{2}$；
(2)$5a^{2} - 20b^{2}$；
(3)$0.01m^{2} - 0.09n^{2}$；
(4)$4(m - 2n)^{2} - (2m - n)^{2}$.

答案： 1. （1）
解：
对于$1 - 4x^{2}$，根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = 1$，$b = 2x$。
则$1 - 4x^{2}=1^{2}-(2x)^{2}=(1 + 2x)(1 - 2x)$。
2. （2）
解：
先提取公因式$5$，$5a^{2}-20b^{2}=5(a^{2}-4b^{2})$。
再根据平方差公式，$a^{2}-4b^{2}=a^{2}-(2b)^{2}$，其中$a=a$，$b = 2b$。
所以$5a^{2}-20b^{2}=5(a + 2b)(a - 2b)$。
3. （3）
解：
对于$0.01m^{2}-0.09n^{2}$，可变形为$(0.1m)^{2}-(0.3n)^{2}$。
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = 0.1m$，$b = 0.3n$。
则$0.01m^{2}-0.09n^{2}=(0.1m + 0.3n)(0.1m - 0.3n)$。
4. （4）
解：
对于$4(m - 2n)^{2}-(2m - n)^{2}$，可变形为$[2(m - 2n)]^{2}-(2m - n)^{2}$。
设$a = 2(m - 2n)$，$b=(2m - n)$，根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$。
则$[2(m - 2n)]^{2}-(2m - n)^{2}=[2(m - 2n)+(2m - n)][2(m - 2n)-(2m - n)]$。
化简$[2(m - 2n)+(2m - n)]$：
$2(m - 2n)+(2m - n)=2m-4n + 2m - n=4m-5n$。
化简$[2(m - 2n)-(2m - n)]$：
$2(m - 2n)-(2m - n)=2m-4n-2m + n=-3n$。
所以$4(m - 2n)^{2}-(2m - n)^{2}=-3n(4m - 5n)$。
综上，（1）$(1 + 2x)(1 - 2x)$；（2）$5(a + 2b)(a - 2b)$；（3）$(0.1m + 0.3n)(0.1m - 0.3n)$；（4）$-3n(4m - 5n)$。

3. 分解因式：
(1)$1 + 10t + 25t^{2}$；
(2)$m^{2} - 14m + 49$；
(3)$y^{2} + y + \frac{1}{4}$；
(4)$25a^{2} - 80a + 64$；
(5)$(m + n)^{2} - 4m(m + n) + 4m^{2}$；
(6)$a^{2} + 2a(b + c) + (b + c)^{2}$.

答案： $(1)$ 分解因式$1 + 10t + 25t^{2}$
解：
根据完全平方公式$a^2 + 2ab + b^2=(a + b)^2$，在$1 + 10t + 25t^{2}$中，$a = 1$，$b = 5t$，$2ab=2×1×5t = 10t$，$b^{2}=(5t)^{2}=25t^{2}$。
所以$1 + 10t + 25t^{2}=(1 + 5t)^{2}$。
$(2)$ 分解因式$m^{2} - 14m + 49$
解：
根据完全平方公式$a^2-2ab + b^2=(a - b)^2$，在$m^{2} - 14m + 49$中，$a = m$，$b = 7$，$2ab = 2× m×7=14m$，$b^{2}=7^{2}=49$。
所以$m^{2} - 14m + 49=(m - 7)^{2}$。
$(3)$ 分解因式$y^{2} + y + \frac{1}{4}$
解：
根据完全平方公式$a^2 + 2ab + b^2=(a + b)^2$，在$y^{2} + y + \frac{1}{4}$中，$a = y$，$b=\frac{1}{2}$，$2ab=2× y×\frac{1}{2}=y$，$b^{2}=(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$。
所以$y^{2} + y + \frac{1}{4}=(y+\frac{1}{2})^{2}$。
$(4)$ 分解因式$25a^{2} - 80a + 64$
解：
根据完全平方公式$a^2-2ab + b^2=(a - b)^2$，在$25a^{2} - 80a + 64$中，$a = 5a$，$b = 8$，$2ab=2×5a×8 = 80a$，$b^{2}=8^{2}=64$。
所以$25a^{2} - 80a + 64=(5a - 8)^{2}$。
$(5)$ 分解因式$(m + n)^{2} - 4m(m + n) + 4m^{2}$
解：
根据完全平方公式$a^2-2ab + b^2=(a - b)^2$，在$(m + n)^{2} - 4m(m + n) + 4m^{2}$中，$a=(m + n)$，$b = 2m$，$2ab=2×(m + n)×2m=4m(m + n)$，$b^{2}=(2m)^{2}=4m^{2}$。
所以$(m + n)^{2} - 4m(m + n) + 4m^{2}=(m + n-2m)^{2}=(n - m)^{2}$。
$(6)$ 分解因式$a^{2} + 2a(b + c) + (b + c)^{2}$
解：
根据完全平方公式$a^2 + 2ab + b^2=(a + b)^2$，在$a^{2} + 2a(b + c) + (b + c)^{2}$中，$a = a$，$b=(b + c)$。
所以$a^{2} + 2a(b + c) + (b + c)^{2}=(a+(b + c))^{2}=(a + b + c)^{2}$。
综上，答案依次为：$(1)\boldsymbol{(1 + 5t)^{2}}$；$(2)\boldsymbol{(m - 7)^{2}}$；$(3)\boldsymbol{(y+\frac{1}{2})^{2}}$；$(4)\boldsymbol{(5a - 8)^{2}}$；$(5)\boldsymbol{(n - m)^{2}}$；$(6)\boldsymbol{(a + b + c)^{2}}$。