《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

自学教科书第 $83\sim84$ 页的内容,标注出你认为重要的内容,并解决下列问题.
(1)用两个全等的含 $30^{\circ}$ 角的直角三角尺,你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.
(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于 $30^{\circ}$,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
(1) 能拼出三角形，能拼出等边三角形。理由：将两个全等含30°角的直角三角尺的斜边重合拼接，所得三角形的两边为原直角三角尺的直角边（相等），且有一个角为60°，由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，可得该三角形为等边三角形。

答案：
(1) 能拼出三角形，能拼出等边三角形。理由：将两个全等含30°角的直角三角尺的斜边重合拼接，所得三角形的两边为原直角三角尺的直角边（相等），且有一个角为60°，由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，可得该三角形为等边三角形。
(2) 一半

1. 请你用符号语言表述“在直角三角形中,如果一个锐角等于 $30^{\circ}$,那么它所对的直角边等于斜边的一半.”

答案： 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，则$BC = \frac{1}{2}AB$。

2. 在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = \angle A$,$\angle B$ 和 $\angle A$ 各是多少度？边 $AB$ 与 $BC$ 之间有什么关系？

答案： 答题据（答题卡部分）：
在$Rt \bigtriangleup ABC$中，因为$\angle C = 90{°}$，三角形内角和为$180{°}$，已知$\angle B = \angle A$。
由$\angle A + \angle B + \angle C = 180{°}$，将$\angle C = 90{°}$，$\angle B = \angle A$代入可得：
$2\angle B+ 90{°}=180{°}$，
$2\angle B=90{°}$，
解得$\angle B = 45{°}$，
所以$\angle A = 45{°}$。
因为$\angle A = 45{°}$，在直角三角形中一个角为$45{°}$的直角三角形是等腰直角三角形，所以$AC = BC$。
根据勾股定理$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，把$AC = BC$代入可得：
$AB^{2}=2AC^{2}=2BC^{2}$，
所以$AB=\sqrt{2}AC=\sqrt{2}BC$。
综上，$\angle A = \angle B = 45{°}$，$AB=\sqrt{2}BC$。

例 1 如图是屋架设计图的一部分,点 $D$ 是斜梁 $AB$ 的中点,立柱 $BC$,$DE$ 垂直于横梁,$AB = 7.4m$,$\angle A = 30^{\circ}$,立柱 $BC$,$DE$ 要多长？

答案： 在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=7.4m，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=1/2AB=1/2×7.4=3.7m。
∵D是AB中点，
∴AD=1/2AB=3.7m。
在Rt△ADE中，∠A=30°，AD=3.7m，
∵∠AED=90°，∠A=30°，
∴DE=1/2AD=1/2×3.7=1.85m。
答：立柱BC长3.7m，DE长1.85m。

例 2 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD$,$CE$ 三等分 $\angle ACB$,$CD\perp AB$. 求证：
(1)$AB = 2BC$；
(2)$CE = AE = BE$.

答案：
(1)
∵CD、CE三等分∠ACB，∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠ECD=∠DCB=30°。
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°。
在Rt△CDB中，∠DCB=30°，
∴∠B=90°-∠DCB=60°。
在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠A=180°-90°-60°=30°。
∵在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴BC=1/2AB（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半），
即AB=2BC。
(2) ① 证AE=CE：
∵∠A=30°，∠ACE=30°，
∴∠A=∠ACE，
∴AE=CE（等角对等边）。
② 证CE=BE：
∵∠ECB=∠ECD+∠DCB=30°+30°=60°，∠B=60°，
∴∠ECB=∠B，
∴CE=BE（等角对等边）。
由①②得AE=CE=BE。

1. 在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 2\angle A$,$\angle B$ 和 $\angle A$ 各是多少度？$AB$ 与 $BC$ 之间有什么关系？

答案： ∠A=30°,∠B=60°,AB=2BC