《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

3. 如图,$AE// BD$,$∠CBD = 56^{\circ}$,$∠AEF = 128^{\circ}$. 求$x$的值.

答案： 72

1. 如图,$AB// CD$,$∠A = 45^{\circ}$,$∠C = ∠E$,求$∠C$的度数.

答案： 22.5°

2. 如图,$CE是\triangle ABC的外角∠ACD$的平分线,且$CE交BA的延长线于点E$. 求证：$∠BAC = ∠B + 2∠E$.

答案： 解：
因为$CE$是$\angle ACD$的平分线，所以$\angle ACE=\angle ECD$。
根据三角形外角性质，$\angle ACD = \angle B+\angle BAC$，$\angle ECD=\angle B+\angle E$。
又因为$\angle ACD = 2\angle ECD$，所以$\angle B+\angle BAC=2(\angle B + \angle E)$。
展开可得$\angle B+\angle BAC=2\angle B + 2\angle E$。
移项可得$\angle BAC=\angle B + 2\angle E$。
综上，$\angle BAC=\angle B + 2\angle E$得证。

3. 如图,$AB// DE$. 求证：$∠B + ∠D = ∠BCD$.

答案： 提示:延长BC交DE于点F.

在$\triangle ABC$中,已知$∠A = 40^{\circ}$.

(1)如图(1),角平分线$BM和CM相交于点M$,求$∠BMC$的度数；
(2)如图(2),外角平分线$BN和CN相交于点N$,求$∠BNC$的度数.

答案： 1. （1）
解：
在$\triangle ABC$中，$\angle A = 40^{\circ}$，根据三角形内角和定理$\angle A+\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}$，所以$\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle A = 180 - 40=140^{\circ}$。
因为$BM$平分$\angle ABC$，$CM$平分$\angle ACB$，所以$\angle MBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle MCB=\frac{1}{2}\angle ACB$。
则$\angle MBC+\angle MCB=\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB)$。
把$\angle ABC+\angle ACB = 140^{\circ}$代入可得$\angle MBC+\angle MCB=\frac{1}{2}×140^{\circ}=70^{\circ}$。
在$\triangle BMC$中，根据三角形内角和定理$\angle BMC=180^{\circ}-(\angle MBC+\angle MCB)$。
所以$\angle BMC = 180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$。
2. （2）
解：
设$\triangle ABC$中，$\angle A = 40^{\circ}$，$\angle ABC$的外角为$\angle DBC$，$\angle ACB$的外角为$\angle ECB$。
则$\angle DBC+\angle ECB=(180^{\circ}-\angle ABC)+(180^{\circ}-\angle ACB)=360^{\circ}-(\angle ABC+\angle ACB)$。
因为$\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}-\angle A=140^{\circ}$，所以$\angle DBC+\angle ECB=360^{\circ}-140^{\circ}=220^{\circ}$。
因为$BN$平分$\angle DBC$，$CN$平分$\angle ECB$，所以$\angle NBC=\frac{1}{2}\angle DBC$，$\angle NCB=\frac{1}{2}\angle ECB$。
则$\angle NBC+\angle NCB=\frac{1}{2}(\angle DBC+\angle ECB)$。
把$\angle DBC+\angle ECB = 220^{\circ}$代入可得$\angle NBC+\angle NCB=\frac{1}{2}×220^{\circ}=110^{\circ}$。
在$\triangle BNC$中，根据三角形内角和定理$\angle BNC=180^{\circ}-(\angle NBC+\angle NCB)$。
所以$\angle BNC=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$。
综上，（1）$\angle BMC = 110^{\circ}$；（2）$\angle BNC = 70^{\circ}$。