《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

17. (5 分)如图,已知 $ AB = CD $,$ AE \perp BD $,$ CF \perp BD $,垂足分别为 $ E $,$ F $,$ BF = DE $. 求证：$ AE = CF $.

答案：
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB=∠CFD=90°.
∵BF=DE,
∴BF+EF=DE+EF,即BE=DF.在Rt△BAE和Rt△DCF中，$\left\{\begin{array}{l} AB=CD,\\ BE=DF,\end{array}\right. $
∴Rt△BAE≌Rt△DCF(HL),
∴AE=CF.

18. (6 分)已知：如图,四边形 $ ABCD $,$ E $ 为 $ DC $ 边上一点.
求作：四边形内一点 $ P $,使 $ EP // BC $,且点 $ P $ 到 $ AB $,$ AD $ 的距离相等.

答案：
作∠DAB的平分线AM,以E为顶点,ED为一边作∠DEN=∠C,EN交AM于P,如图，点P即为所求.

19. (6 分)如图,点 $ A $,$ D $,$ B $,$ E $ 在同一条直线上,$ AD = BE $,$ AC = DF $,$ BC = EF $.
(1)求证：$ \triangle ABC \cong \triangle DEF $.
(2)若 $ \angle A = 55° $,$ \angle E = 45° $,求 $ \angle F $ 的度数.

答案：
(1)
∵AD=BE,
∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE.在△ABC和△DEF中，$\left\{\begin{array}{l} AB=DE,\\ AC=DF,\\ BC=EF,\end{array}\right. $△ABC≌△DEF(SSS).
(2)
∵∠A=55°,∠E=45°,由
(1)可知:△ABC≌△DEF,
∴∠A=∠FDE=55°.
∴∠F=180°-(∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°)=80°.

20. (6 分)如图,$ AB // CD $,$ E $ 是 $ AB $ 的中点,$ CE = DE $,$ \angle ECD = \angle EDC $. 求证：
(1)$ \angle AEC = \angle BED $；
(2)$ AC = BD $.

答案： 1. 证明$\angle AEC = \angle BED$：
解：
因为$AB// CD$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle AEC=\angle ECD$，$\angle BED = \angle EDC$。
又因为$\angle ECD=\angle EDC$，所以$\angle AEC=\angle BED$。
2. 证明$AC = BD$：
解：
因为$E$是$AB$的中点，所以$AE = BE$。
在$\triangle AEC$和$\triangle BED$中：
$\left\{\begin{array}{l}AE = BE\\\angle AEC=\angle BED\\CE = DE\end{array}\right.$
根据$SAS$（边角边）判定定理，$\triangle AEC\cong\triangle BED$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$AC = BD$。
综上，（1）已证$\angle AEC=\angle BED$；（2）已证$AC = BD$。