《2025年通城学典非常课课通七年级数学上册苏科版》

典例 1 (2023·宿城模拟)观察下列等式：
$1×3 + 1 = 2^{2}$,$2×4 + 1 = 3^{2}$,$3×5 + 1 = 4^{2}$,$4×6 + 1 = 5^{2}$,…$$.
(1) 请你依照上述规律,写出第 6 个等式：$\underline{\quad\quad}$；
(2) 请写出第 $n$ 个($n$ 为正整数)等式：$\underline{\quad\quad}$；
(3) 计算：$(1 + \frac{1}{1×3})×(1 + \frac{1}{2×4})×(1 + \frac{1}{3×5})×…×(1 + \frac{1}{98×100})$.
解析：(1) 因为第 1,2,3,4 个等式可分别写成 $1×(1 + 2) + 1 = (1 + 1)^{2}$,$2×(2 + 2) + 1 = (2 + 1)^{2}$,$3×(3 + 2) + 1 = (3 + 1)^{2}$,$4×(4 + 2) + 1 = (4 + 1)^{2}$. 观察第 $1～4$ 个等式,可以发现等式左边为两个因数的积与 1 的和,其中一个因数为等式序号,另一个因数比等式序号大 2,等式的右边为比等式序号大 1 的数的平方. 因为第 6 个等式的序号为 6,所以第 6 个等式为 $6×(6 + 2) + 1 = (6 + 1)^{2}$,即 $6×8 + 1 = 7^{2}$. (2) 第 $n$ 个等式的序号为 $n$,由(1)可写出第 $n$ 个等式. (3) 先把每个括号里的式子通分,然后运用(2)中发现的规律转化分子,最后通过约分得到答案.
解：(1) $6×8 + 1 = 7^{2}$.
(2) $n(n + 2) + 1 = (n + 1)^{2}$.
(3) 原式 $= \frac{1×3 + 1}{1×3}×\frac{2×4 + 1}{2×4}×\frac{3×5 + 1}{3×5}×…×\frac{98×100 + 1}{98×100} = \frac{2^{2}}{1×3}×\frac{3^{2}}{2×4}×\frac{4^{2}}{3×5}×…×\frac{99^{2}}{98×100} = \frac{2}{1}×\frac{2}{3}×\frac{3}{2}×\frac{3}{4}×\frac{4}{3}×\frac{4}{5}×…×\frac{99}{98}×\frac{99}{100} = \frac{2}{1}×\frac{99}{100} = \frac{99}{50}$.

答案：
(1) $6 × 8 + 1 = 7^{2}$。
(2) $n(n + 2) + 1 = (n + 1)^{2}$。
(3)
原式
$= \frac{1 × 3 + 1}{1 × 3} × \frac{2 × 4 + 1}{2 × 4} × \frac{3 × 5 + 1}{3 × 5} × \ldots × \frac{98 × 100 + 1}{98 × 100}$
$= \frac{2^{2}}{1 × 3} × \frac{3^{2}}{2 × 4} × \frac{4^{2}}{3 × 5} × \ldots × \frac{99^{2}}{98 × 100}$
$= \frac{2}{1} × \frac{99}{100}$
$= \frac{99}{50}$