《2025年通城学典非常课课通七年级数学上册苏科版》

典例5(2023·南京)如图,某校的饮水机有温水、开水两个按钮,温水和开水共用一个出水口。温水的温度为$30^{\circ}C$,流速为$20mL/s$；开水的温度为$100^{\circ}C$,流速为$15mL/s$。某学生先接了一会儿温水,又接了一会儿开水,得到一杯$280mL温度为60^{\circ}C$的水(不计热损失),求该学生分别接温水和开水的时间。
物理常识
开水和温水混合时会发生热传递,开水放出的热量等于温水吸收的热量,可以转化为开水的体积×开水降低的温度= 温水的体积×温水升高的温度。

解析：设该学生接温水的时间为$x s$。因为温水的流速为$20mL/s$,所以该学生接了$20x mL$的温水。因为该学生共接了$280mL$水,所以该学生接了$(280 - 20x)mL$的开水。因为开水的流速为$15mL/s$,所以该学生接开水的时间为$\frac{280 - 20x}{15} s$。因为该学生得到的水的温度为$60^{\circ}C$,所以开水降低的温度为$(100 - 60)^{\circ}C$,温水升高的温度为$(60 - 30)^{\circ}C$。根据“开水的体积×开水降低的温度= 温水的体积×温水升高的温度”列方程,求出$x$的值可得答案。
解：设该学生接温水的时间为$x s$,则该学生接开水的时间为$\frac{280 - 20x}{15} s$。
根据题意,得$(280 - 20x)×(100 - 60) = 20x×(60 - 30)$,
解得$x = 8$。
所以$\frac{280 - 20x}{15} = 8$。
答：该学生接温水的时间为$8s$,接开水的时间为$8s$。

答案： 设该学生接温水的时间为$x$秒，接开水的时间为$y$秒。
根据题意，温水体积为$20x$ mL，开水体积为$15y$ mL，可得：
$\begin{cases}20x + 15y = 280 \\15y × (100 - 60) = 20x × (60 - 30)\end{cases}$
化简第二个方程：$15y × 40 = 20x × 30$，即$600y = 600x$，得$x = y$。
将$x = y$代入第一个方程：$20x + 15x = 280$，$35x = 280$，解得$x = 8$，则$y = 8$。
答：该学生接温水的时间为$8$秒，接开水的时间为$8$秒。

典例6(2022·苏州改编)《九章算术》是我国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架。它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术,其中方程术是其最高的代数成就。《九章算术》中有这样一个问题：今有善行者行一百步,不善行者行六十步。今不善行者先行一百步,善行者追之,问几何步及之？译文如下：相同时间内,走路快的人走100步,走路慢的人只走60步。若走路慢的人先走100步,走路快的人要走多少步才能追上？请解决这个问题。
解析：设走路快的人要走$x$步才能追上。因为相同时间内,走路快的人走100步,走路慢的人只走60步,所以走路慢的人速度是走路快的人的$\frac{60}{100}$,于是走路慢的人还要走$\frac{60}{100}x$步。根据“走路快的人走的路程= 走路慢的人先走的路程+走路慢的人还要走的路程”列方程求解。
解：设走路快的人要走$x$步才能追上。
根据题意,得$x = 100 + \frac{60}{100}x$,
解得$x = 250$。
答：走路快的人要走250步才能追上。

答案： 设走路快的人要走$x$步才能追上。
因为相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人走60步，所以走路慢的人速度是走路快的人的$\frac{60}{100}$，则走路慢的人在走路快的人走$x$步的时间内走了$\frac{60}{100}x$步。
根据题意，得$x = 100 + \frac{60}{100}x$，
解得$x = 250$。
答：走路快的人要走250步才能追上。