《2025年通城学典非常课课通七年级数学上册苏科版》

题型三多项式的和差运算
典例3(1)求多项式$x^{2}-7x-2与-2x^{2}+4x-1$的和；
(2)一个多项式加上$-5x^{2}-4x-3的和为x^{2}-3x$,求这个多项式.
解析：(1)可以先直接列出算式,再求和.(2)本题类似于已知一个加数、和,求另一个加数.由小学知识,可知“另一个加数= 和-一个加数”,所以所求的多项式= 和-已知的多项式.
解：(1)根据题意,得$(x^{2}-7x-2)+(-2x^{2}+4x-1)= x^{2}-7x-2-2x^{2}+4x-1= -x^{2}-3x-3$.
(2)根据题意,得$(x^{2}-3x)-(-5x^{2}-4x-3)= x^{2}-3x+5x^{2}+4x+3= 6x^{2}+x+3$.

答案：
(1)
根据题意，求两多项式之和：
$(x^{2} - 7x - 2) + (-2x^{2} + 4x - 1)$
$= x^{2} - 7x - 2 - 2x^{2} + 4x - 1$
$= -x^{2} - 3x - 3$
(2)
设所求多项式为$P(x)$，根据题意：
$P(x) + (-5x^{2} - 4x - 3) = x^{2} - 3x$
从上式中解出$P(x)$：
$P(x) = (x^{2} - 3x) - (-5x^{2} - 4x - 3)$
$= x^{2} - 3x + 5x^{2} + 4x + 3$
$= 6x^{2} + x + 3$

题型四代数式的化简求值
1. 直接代入求值
典例4(1)(2024·靖江期末)先化简,再求值：$a^{2}b+(-5ab^{2}+a^{2}b)-2(a^{2}b-2ab^{2})$,其中$a= -1$,$b= 3$；
(2)(2024·姑苏期末)先化简,再求值：$4xy-[(x^{2}+5xy-y^{2})-(x^{2}+3xy-2y^{2})]$,其中$(x-1)^{2}+|y+\frac{1}{2}|= 0$.
解析：(1)先去括号,然后合并同类项,对代数式进行化简,最后将a,b的值代入即可求得代数式的值.(2)先类似(1)化简代数式,然后根据“几个非负数的和为0,这几个数为0”,求出x,y的值,最后代入计算即可.
解：(1)原式$=a^{2}b-5ab^{2}+a^{2}b-2a^{2}b+4ab^{2}= -ab^{2}$.当$a= -1$,$b= 3$时,原式$=-(-1)×3^{2}= 9$.
(2)原式$=4xy-(x^{2}+5xy-y^{2})+(x^{2}+3xy-2y^{2})= 4xy-x^{2}-5xy+y^{2}+x^{2}+3xy-2y^{2}= 2xy-y^{2}$.
因为$(x-1)^{2}+|y+\frac{1}{2}|= 0$,所以$x-1= 0$,$y+\frac{1}{2}= 0$,解得$x= 1$,$y= -\frac{1}{2}$.当$x= 1$,$y= -\frac{1}{2}$时,原式$=2×1×(-\frac{1}{2})-(-\frac{1}{2})^{2}= -\frac{5}{4}$.

答案：
(1)
原式$=a^{2}b - 5ab^{2}+a^{2}b - 2(a^{2}b - 2ab^{2})$
$=a^{2}b - 5ab^{2}+a^{2}b - 2a^{2}b + 4ab^{2}$
$=-ab^{2}$
当$a = - 1$，$b = 3$时，
原式$=-(-1)×3^{2}=9$
(2)
原式$=4xy-[(x^{2}+5xy - y^{2})-(x^{2}+3xy - 2y^{2})]$
$=4xy-(x^{2}+5xy - y^{2}-x^{2}-3xy + 2y^{2})$
$=4xy - x^{2}-5xy + y^{2}+x^{2}+3xy - 2y^{2}$
$=2xy - y^{2}$
因为$(x - 1)^{2}+\vert y+\frac{1}{2}\vert=0$，
所以$x - 1 = 0$，$y+\frac{1}{2}=0$，
解得$x = 1$，$y=-\frac{1}{2}$
当$x = 1$，$y = -\frac{1}{2}$时，
原式$=2×1×(-\frac{1}{2})-(-\frac{1}{2})^{2}$
$=-1-\frac{1}{4}=-\frac{5}{4}$

典例5先化简,再求值：$2P-[Q-2P-3(-P+Q)]$,其中$P= a^{2}+3ab+b^{2}$,$Q= a^{2}-3ab+b^{2}$,$a= 1$,$b= -1$.
解析：先化简代数式$2P-[Q-2P-3(-P+Q)]$,再分别把P,Q所代表的多项式代入化简后的代数式化简,最后把a,b的值代入计算即可.
解：原式$=2P-(Q-2P+3P-3Q)= 2P-Q+2P-3P+3Q= P+2Q$.
当$P= a^{2}+3ab+b^{2}$,$Q= a^{2}-3ab+b^{2}$时,
原式$=(a^{2}+3ab+b^{2})+2(a^{2}-3ab+b^{2})= a^{2}+3ab+b^{2}+2a^{2}-6ab+2b^{2}= 3a^{2}-3ab+3b^{2}$.
当$a= 1$,$b= -1$时,
原式$=3×1^{2}-3×1×(-1)+3×(-1)^{2}= 3+3+3= 9$.

答案： 解：原式$=2P-(Q-2P+3P-3Q)$
$=2P-Q+2P-3P+3Q$
$=P+2Q$.
当$P=a^{2}+3ab+b^{2}$，$Q=a^{2}-3ab+b^{2}$时，
原式$=(a^{2}+3ab+b^{2})+2(a^{2}-3ab+b^{2})$
$=a^{2}+3ab+b^{2}+2a^{2}-6ab+2b^{2}$
$=3a^{2}-3ab+3b^{2}$.
当$a=1$，$b=-1$时，
原式$=3×1^{2}-3×1×(-1)+3×(-1)^{2}$
$=3+3+3$
$=9$.