《2025年通城学典非常课课通七年级数学上册苏科版》

典例8（南京期末）如图①，∠AOB = 20°，∠AOC = 90°，∠AOD = 120°。若射线OB绕点O以每秒20°按逆时针方向旋转，射线OC绕点O以每秒10°按顺时针方向旋转，射线OD绕点O以每秒30°按顺时针方向旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动。当运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？

解析：设三条射线运动的时间为$x$秒，则可用含$x$的代数式表示∠DOA，∠COA，∠BOA。若射线OD与直线OA重合，则∠DOA = 0°，所以120 - 30x = 0，解得$x = 4$。同理，可得若射线OC与直线OA重合，则$x = 9$；若射线OB与直线OA重合，则$x = 8$。因为4 ＜ 8 ＜ 9，所以三条射线运动4秒后，停止运动。在运动过程中，当射线OD追上射线OC时，∠DOA = ∠COA，则120 - 30x = 90 - 10x，解得$x = \frac{3}{2}$；当射线OD与射线OB相遇时，∠DOA = ∠BOA，则120 - 30x = 20 + 20x，解得$x = 2$；当射线OC与射线OB相遇时，∠COA = ∠BOA，则90 - 10x = 20 + 20x，解得$x = \frac{7}{3}$。因为0 ＜ $\frac{3}{2}$ ＜ 2 ＜ $\frac{7}{3}$ ＜ 4，所以需分0 ＜ $x ≤ \frac{3}{2}$，$\frac{3}{2} ＜ x ≤ 2$，2 ＜ $x ≤ \frac{7}{3}$，$\frac{7}{3} ＜ x ≤ 4$四种情况分别解答，求出符合题意的答案即可。
解：设当运动$x$秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线，
则∠DOA = (120 - 30x)°，∠COA = (90 - 10x)°，∠BOA = (20 + 20x)°。
分四种情况讨论：①当0 ＜ $x ≤ \frac{3}{2}$时，
若OC为∠DOB的平分线，
则∠DOC = ∠BOC，
即∠DOA - ∠COA = ∠COA - ∠BOA。
所以(120 - 30x) - (90 - 10x) = (90 - 10x) - (20 + 20x)，
解得$x = 4$（不合题意，舍去）。
②如图②，当$\frac{3}{2} ＜ x ≤ 2$时，
若OD为∠COB的平分线，
则∠COD = ∠BOD，
即∠COA - ∠DOA = ∠DOA - ∠BOA。
所以(90 - 10x) - (120 - 30x) = (120 - 30x) - (20 + 20x)，
解得$x = \frac{13}{7}$。
③如图③，当2 ＜ $x ≤ \frac{7}{3}$时，
若OB为∠COD的平分线，
则∠COB = ∠DOB，
即∠COA - ∠BOA = ∠BOA - ∠DOA。
所以(90 - 10x) - (20 + 20x) = (20 + 20x) - (120 - 30x)，
解得$x = \frac{17}{8}$。
④如图④，当$\frac{7}{3} ＜ x ≤ 4$时，
若OC为∠BOD的平分线，
则∠BOC = ∠DOC，
即∠BOA - ∠COA = ∠COA - ∠DOA。
所以(20 + 20x) - (90 - 10x) = (90 - 10x) - (120 - 30x)，
解得$x = 4$。
综上所述，当运动$\frac{13}{7}$秒或$\frac{17}{8}$秒或4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线。

答案： $\frac{13}{7}$秒或$\frac{17}{8}$秒或$4$秒