《2025年通城学典非常课课通七年级数学上册苏科版》

典例11
填写下表：
| $ x $ | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| $ 3x + 1 $ | | | | | | | | | |
| $ 3(x + 1) $ | | | | | | | | | |
(1)随着 $ x $ 的值增大,两个代数式的值怎样变化？
(2)当代数式 $ 3x + 1 $ 的值为 $ m $ 时,代数式 $ 3(x + 1) $ 的值是多少(用含 $ m $ 的代数式表示)？
解析：(1)分别将 $ x $ 的值代入到这两个代数式中进行计算,可以发现代数式中字母的取值与代数式的值之间有着密切的联系. 通过观察、分析其中的联系,进而解决问题. (2)可借助(1)的结论进行解答.
解：填表如下：
| $ x $ | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| $ 3x + 1 $ | -11 | -8 | -5 | -2 | 1 | 4 | 7 | 10 | 13 |
| $ 3(x + 1) $ | -9 | -6 | -3 | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
(1)随着 $ x $ 的值增大,两个代数式的值都增大,且代数式 $ 3(x + 1) $ 的值都比对应的代数式 $ 3x + 1 $ 的值大 2.
(2)因为代数式 $ 3(x + 1) $ 的值都比对应的代数式 $ 3x + 1 $ 的值大 2,所以当代数式 $ 3x + 1 $ 的值为 $ m $ 时,代数式 $ 3(x + 1) $ 的值是 $ m + 2 $.

答案： 填表如下：
| $x$ | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $3x + 1$ | -11 | -8 | -5 | -2 | 1 | 4 | 7 | 10 | 13 |
| $3(x + 1)$ | -9 | -6 | -3 | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
(1) 随着 $x$ 的值增大，两个代数式的值都增大，且代数式 $3(x + 1)$ 的值都比对应的代数式 $3x + 1$ 的值大 2。
(2) 当代数式 $3x + 1$ 的值为 $m$ 时，代数式 $3(x + 1)$ 的值是 $m + 2$。

例1
当 $ x = -3 $,$ y = \frac{3}{2} $ 时,求 $ x^2 - 4y^2 $ 的值.
正确解答：当 $ x = -3 $,$ y = \frac{3}{2} $ 时,$ x^2 - 4y^2 = (-3)^2 - 4 × (\frac{3}{2})^2 = 9 - 9 = 0 $.
误区分析：本题易出现两种错误：一是把 $ x = -3 $ 代入代数式时,误写成 $ -3^2 - 4 × (\frac{3}{2})^2 $,导致得到错误答案 -18；二是把 $ y = \frac{3}{2} $ 代入代数式时,误写成 $ (-3)^2 - 4 × \frac{3^2}{2} $,导致得到错误答案 -9. 求代数式的值时,若代入其中的数值是分数或负数,则需要加上括号.

答案： 当 $ x = -3 $，$ y = \frac{3}{2} $ 时，
$ x^2 - 4y^2 = (-3)^2 - 4 × \left(\frac{3}{2}\right)^2 $
$ = 9 - 4 × \frac{9}{4} $
$ = 9 - 9 $
$ = 0 $

例2
按如图所示的程序计算,当输入 $ x $ 的值为 3 时,输出的结果为12.

正确解答：由题意,得程序计算输出的代数式为 $ \frac{x^3 - x}{2} $. 当 $ x = 3 $ 时,$ \frac{x^3 - x}{2} = \frac{3^3 - 3}{2} = \frac{24}{2} = 12 $. 故填 12.
误区分析：本题易忽视程序运算的先后顺序,错误地按程序图的表面顺序得出输出的代数式为 $ x^3 - \frac{x}{2} $,导致得到错误答案 $ \frac{51}{2} $.

答案： 12