《2025年通城学典非常课课通七年级数学上册苏科版》

一 整体思想在一元一次方程中的应用
在解方程时,为了简便解题,有时需要把题中括号里的多项式看成一个整体或把某个含未知数的代数式当成一个整体,先利用解一元一次方程的步骤求出整体的值,再求出未知数的值。
例1 解方程：$\frac{2019x + 2018}{3} = 2019x + 2018\frac{2}{3}$。
解析：观察方程,根据此方程的特点可考虑把$2019x + 2018$看成一个整体,且把$2019x + 2018\frac{2}{3}转化成2019x + 2018 + \frac{2}{3}$来解。
解：两边都乘3,得$2019x + 2018 = 3×(2019x + 2018) + 2$。移项,得$(2019x + 2018) - 3(2019x + 2018) = 2$。合并同类项,得$-2(2019x + 2018) = 2$。系数化为1,得$2019x + 2018 = -1$。移项、合并同类项,得$2019x = -2019$。系数化为1,得$x = -1$。

答案： 解：方程两边同时乘3得：
$2019x + 2018 = 3(2019x + 2018) + 2$，
移项得：
$2019x + 2018 - 3(2019x +2018) = 2$，
合并同类项得：
$-2(2019x + 2018) = 2$，
系数化为1，两边同时除以-2得：
$2019x + 2018 = -1$，
移项、合并同类项得：
$2019x = -2019$，
系数化为1，两边同时除以2019得：
$x = -1$。

二 数形结合思想在一元一次方程中的应用
本章列方程解应用题时,常先用线段示意图表示问题中的数量关系,然后根据线段长度的内在联系,找出相等关系,体现了数形结合的思想。
例2 已知某铁路桥长1000m,现在一列火车匀速通过该桥,火车从车头上桥到车尾离桥用了60s,整列火车完全在桥上的时间为40s,求火车的长度及其行驶速度。
解析：由题意,可知火车的行驶速度和火车的长度是不变的量。“从车头上桥到车尾离桥”所要考虑的路程是桥与火车的长度之和(如图①),而“整列火车完全在桥上”所要考虑的路程是桥与火车的长度之差(如图②)。根据火车的行驶速度不变,列出方程即可求解。

解：设火车的长度为$x m$。根据题意,得$\frac{1000 + x}{60} = \frac{1000 - x}{40}$,解得$x = 200$。所以$\frac{1000 + x}{60} = 20$。答：火车的长度为200m,行驶速度为20m/s。

答案： 设火车的长度为$x$ m。
根据题意，得$\frac{1000 + x}{60} = \frac{1000 - x}{40}$，
两边同时乘以$120$得：
$2(1000+x)=3(1000-x)$
$2000+2x=3000-3x$
$2x+3x=3000-2000$
$5x=1000$
$x = 200$
所以$\frac{1000 + x}{60} =\frac{1000+200}{60}=\frac{1200}{60} = 20$（m/s）。
答：火车的长度为$200$ m，行驶速度为$20$ m/s。

三 分类讨论思想在一元一次方程中的应用
在解含字母系数的一元一次方程时,如果化为最简形式$ax = b$后,不能确定未知数的系数$a$是否为0,那么需要进行分类讨论。在用一元一次方程解决分段计费类的问题时,对一些需要确定所设未知数的范围的题目,有时需要对未知数的范围进行分类讨论。
例3 某大型超市举行促销活动,规定一次性购物不超过100元的不享受优惠；超过100元而不超过200元的,按该次购物全额9折优惠；超过200元的,其中200元仍按9折优惠,超过部分按8折优惠。小明两次购物分别用了91.8元和192.8元,现小红决定一次购买与小明两次购买的同样的东西,那么小红应付款多少元？
解析：根据题意,对购物不超过100元,超过100元而不超过200元,超过200元三种情况考虑小明的购物价格,分别列出方程求解即可。
解：因为$100×0.9 = 90$(元),$200×0.9 = 180$(元),$180 ＜ 192.8$,
所以易得小明第二次购物的原价超过200元。
设小明第二次购物的原价为$x$元。
根据题意,得$(x - 200)×0.8 + 200×0.9 = 192.8$,
解得$x = 216$。
分两种情况讨论：
① 小明第一次购物没有优惠,第二次购物原价超过200元,则小红应付款$(216 + 91.8 - 200)×0.8 + 200×0.9 = 266.24$(元)。
② 小明第一次购物原价超过100元而不超过200元,第二次购物原价超过200元,则第一次购物的原价为$91.8÷0.9 = 102$(元),所以小红应付款$(216 + 102 - 200)×0.8 + 200×0.9 = 274.4$(元)。
答：小红应付款266.24元或274.4元。

答案： 因为100×0.9=90（元），200×0.9=180（元），192.8＞180，所以小明第二次购物原价超过200元。设第二次购物原价为x元，得200×0.9+(x-200)×0.8=192.8，解得x=216。
第一次购物91.8元分两种情况：
①第一次购物无优惠，原价91.8元。总价=91.8+216=307.8元，应付款=200×0.9+(307.8-200)×0.8=180+86.24=266.24元。
②第一次购物原价超过100元，原价=91.8÷0.9=102元。总价=102+216=318元，应付款=200×0.9+(318-200)×0.8=180+94.4=274.4元。
答：小红应付款266.24元或274.4元。