《2025年通城学典非常课课通七年级数学上册苏科版》

典例3 用刀切一个正方体形状的小物体,只能切一刀,能使得切面(截面)的形状是两边相等的三角形,或者是三边相等的三角形吗？能切出长方形吗？如果能,请画出你的示意图。
解析：先利用分类讨论思想找出所有的可能,再动手做一做,然后观察分析即可。
解：三角形和长方形都能切出。截面的示意图如图所示(答案不唯一),根据示意图可得相应的切法。

答案： 可以切出两边相等的三角形、三边相等的三角形以及长方形。
1. 两边相等的三角形：
切法：从正方体的一条棱的中点，向不相邻的另一条棱切，使得切面经过两条棱的中点和一个顶点，形成等腰三角形。
示意图：如题中插图所示第一、二个图形。
2. 三边相等的三角形：
切法：从正方体的一个顶点，切向与其不相邻的三条棱的中点形成的平面，形成等边三角形。
示意图：如题中插图所示第三、四个图形。
3. 长方形：
切法：平行于正方体的一个面切一刀，切面与该面平行且重合（或平行且等距），形成长方形。
示意图：如题中插图所示最后一个图形。

典例4 阅读材料,并解决问题：
莱昂哈德·欧拉是18世纪瑞士数学家,教材P141的探究问题探究了由他发现的“欧拉公式”：简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式：V+F-E= 2。
(1)想一想,是否存在一个多面体,它有10个面、30条棱和20个顶点？
(2)已知一个多面体的面数比顶点数大8,且有30条棱,求这个多面体的面数。
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成的,且有24个顶点,每个顶点处都有3条棱。设该多面体外表面的三角形的个数为x,八边形的个数为y,求x+y的值。
解析：(1)若符合“欧拉公式”,则能；若不符合,则不能。(2)设这个多面体的面数为F,根据“欧拉公式”列方程求解。(3)由这个简单多面体的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成的,得这个多面体的面数= x+y。故要求x+y的值只需要类似(2)求出这个简单多面体的面数即可。
解：(1)假设存在这样的多面体。因为这个多面体有10个面、30条棱和20个顶点,所以F= 10,E= 30,V= 20。因为V+F-E= 20+10-30= 0≠2,所以不存在这样的多面体。
(2)设这个多面体的面数为F,则它的顶点数为F-8。所以(F-8)+F-30= 2,解得F= 20。所以这个多面体的面数为20。
(3)设这个玻璃饰品的面数为F,则x+y= F。因为这个玻璃饰品有24个顶点,每个顶点处都有3条棱,每条棱有两个顶点,所以这个玻璃饰品有24×3÷2= 36(条)棱。所以24+F-36= 2,解得F= 14。所以x+y= 14。

答案： （1）不存在；
由题意得：$V=20$，$F=10$，$E=30$，
根据欧拉公式：$V+F-E=20+10-30=0\ne2$，
所以不存在这样的多面体。
（2）$20$；
设多面体的面数为$F$，则顶点数为$F-8$，
根据欧拉公式：$(F-8)+F-30=2$，
解得：$F=20$。
（3）$14$；
已知顶点数$V=24$，每个顶点有$3$条棱，每条棱共享两个顶点，
棱数$E=\frac{24×3}{2}=36$，
根据欧拉公式：$24+F-36=2$，
解得：$F=14$，
即$x+y=14$。