《2025年通城学典非常课课通七年级数学上册苏科版》

题型二 用字母表示图中阴影部分的面积
典例 2 (秦淮期中)如图①②,用字母表示图中阴影部分的面积(图②中的正方形 $ABCD$ 与直角三角形 $CEF$ 的面积相等).

解析: 把图①中的阴影部分分成三部分: 一部分是半径为 8 的四分之一圆,一部分是长为 $a$、宽为 8 的长方形,还有一部分是直径为 8 的半圆,则图①中阴影部分的面积为这三部分面积之和. 观察图形,可知图②中阴影部分由三个直角三角形组成,其中易知直角三角形 $AGH$ 的面积为 $\frac{1}{2}ab$. 故只需求出三角形 $BFG$ 与三角形 $DEH$ 的面积之和即可.
解: 图①中阴影部分的面积为 $\frac{1}{4}\pi×8^{2} + 8a + \frac{1}{2}\pi×(\frac{8}{2})^{2} = 16\pi + 8a + 8\pi = 8a + 24\pi$. 图②中 $S_{三角形 BFG} + S_{三角形 DEH} = S_{三角形 CEF} - S_{空白部分} = S_{正方形 ABCD} - S_{空白部分} = S_{直角三角形 AGH}$,所以图②中阴影部分的面积为 $S_{三角形 BFG} + S_{三角形 DEH} + S_{直角三角形 AGH} = 2S_{直角三角形 AGH} = 2×\frac{1}{2}ab = ab$.
方法归纳
用字母表示图中阴影部分的面积的方法: 在用字母表示图中阴影部分的面积时,若阴影部分是规则图形,则一般直接用相关公式表示；若阴影部分不是规则图形或不好直接求解 (如本题),则需要通过割补法,把它转化成规则图形的面积之和 (如本题图①中的阴影部分) 来求,或者转化成规则图形的面积之差 (如本题图②中的阴影部分) 来求.

答案： 图①：$8a + 24\pi$；图②：$ab$

题型三 用字母表示数的运算规律
典例 3 (2022·安徽)观察以下等式:
第 1 个等式: $(2×1 + 1)^{2} = (2×2 + 1)^{2} - (2×2)^{2}$；
第 2 个等式: $(2×2 + 1)^{2} = (3×4 + 1)^{2} - (3×4)^{2}$；
第 3 个等式: $(2×3 + 1)^{2} = (4×6 + 1)^{2} - (4×6)^{2}$；
第 4 个等式: $(2×4 + 1)^{2} = (5×8 + 1)^{2} - (5×8)^{2}$；
……
按照以上规律,解决下面的问题:
1. 写出第 5 个等式:$(2×5 + 1)^{2} = (6×10 + 1)^{2} - (6×10)^{2}$；
2. 写出你猜想的第 $n$ 个 ($n$ 为正整数) 等式 (用含 $n$ 的式子表示).
解析:
1. 观察第 1～4 个等式,发现: 等式左边为奇数 (比序号的 2 倍大 1) 的平方,等式的右边为奇数 (序号大 1 与序号 2 倍的积加上 1) 的平方,减去偶数 (序号大 1 与序号 2 倍的积) 的平方. 第 5 个等式的序号为 5,易知第 5 个等式.
2. 第 $n$ 个等式的序号为 $n$,由 (1) 可猜想第 $n$ 个等式.
解:
1. $(2×5 + 1)^{2} = (6×10 + 1)^{2} - (6×10)^{2}$.
2. $(2n + 1)^{2} = [(n + 1)×2n + 1]^{2} - [(n + 1)×2n]^{2}$.
2. $(2n + 1)^{2} = [(n + 1)×2n + 1]^{2} - [(n + 1)×2n]^{2}$

答案： 1. $(2×5 + 1)^{2} = (6×10 + 1)^{2} - (6×10)^{2}$
2. $(2n + 1)^{2} = [(n + 1)×2n + 1]^{2} - [(n + 1)×2n]^{2}$