《2025年通城学典非常课课通七年级数学上册苏科版》

- 示例6：（南京期末）如图，$AC \perp BC$，$CD \perp AB$，垂足分别为 $C$，$D$，线段 $CD$ 的长度是（C）
解析：因为 $AC \perp BC$，所以点 $A$ 到 $BC$ 的垂线段是 $AC$。所以点 $A$ 到 $BC$ 的距离是垂线段 $AC$ 的长度。同理，可得点 $B$ 到 $AC$ 的距离是垂线段 $BC$ 的长度，点 $C$ 到 $AB$ 的距离是垂线段 $CD$ 的长度。因为图中没有点 $D$ 到 $AC$ 的垂线段，所以不能用图中的线段长度表示点 $D$ 到 $AC$ 的距离。
答案：C。
- 提示：不能把垂线段等同于点到直线的距离，因为垂线段特指一条线段，是图形；点到直线的距离是指垂线段的长度，是一个数量，与两点间的距离类似。
- 方法规律：在求点到直线的距离时，一般首先寻找该点到这条直线的垂线段，若没有，则需过该点作出这条垂线段，然后根据已知求出垂线段的长度，这个长度就是所求的距离。

答案： C

- 典例1：（2022·无锡期末）如图，直线 $AB$ 和 $CD$ 相交于点 $O$，$OE$ 把 $\angle AOC$ 分成两部分，且 $\angle AOE : \angle EOC = 2 : 3$，$OF$ 平分 $\angle BOE$。
（1）若 $\angle BOD = 65^{\circ}$，求 $\angle BOE$ 的度数；
（2）若 $\angle AOE = \frac{1}{2} \angle BOF - 10^{\circ}$，求 $\angle EOC$ 的度数。
解析：（1）已知 $\angle BOD$ 的度数，可以考虑把它转化成它的对顶角 $\angle AOC$。根据 $\angle AOE$ 与 $\angle EOC$ 的关系，可求 $\angle AOE$ 的度数，据此易求 $\angle BOE$ 的度数。
（2）由于直接求 $\angle EOC$ 的度数比较困难，而已知 $\angle AOE : \angle EOC = 2 : 3$，故考虑设 $\angle AOE = 2x^{\circ}$，然后分别用含 $x$ 的代数式表示 $\angle EOC$，$\angle BOE$，根据相等关系“$\angle AOE + \angle BOE = 180^{\circ}$”列出方程，解出 $x$ 的值，易得 $\angle EOC$ 的度数。
解：（1）因为 $\angle BOD = 65^{\circ}$，所以 $\angle AOC = \angle BOD = 65^{\circ}$。因为 $\angle AOE : \angle EOC = 2 : 3$，所以 $\angle AOE = \frac{2}{2 + 3} \angle AOC = \frac{2}{5} × 65^{\circ} = 26^{\circ}$。所以 $\angle BOE = 180^{\circ} - \angle AOE = 180^{\circ} - 26^{\circ} = 154^{\circ}$。
（2）设 $\angle AOE = 2x^{\circ}$，则 $\angle EOC = 3x^{\circ}$。因为 $\angle AOE = \frac{1}{2} \angle BOF - 10^{\circ}$，所以 $\angle BOF = 2 \angle AOE + 20^{\circ} = (4x + 20)^{\circ}$。因为 $OF$ 平分 $\angle BOE$，所以 $\angle BOE = 2 \angle BOF = (8x + 40)^{\circ}$。因为 $\angle AOE + \angle BOE = 180^{\circ}$，所以 $2x + 8x + 40 = 180$，解得 $x = 14$。所以 $\angle EOC = 3x^{\circ} = 3 × 14^{\circ} = 42^{\circ}$。
非常点评：解答第（1）小题这类题目时，一般先利用对顶角的性质转化已知角或未知角，然后利用已知条件求解。解答第（2）小题这类角度关系比较复杂，直接用已知角的度数求未知角比较困难的题目时，一般设一个角为 $x^{\circ}$，利用方程思想，把几何问题转化成代数问题来求解。

答案： （1）154°；（2）42°．