《2025年通城学典非常课课通七年级数学上册苏科版》

例2 如图①,我们把第$i行第j列的数记为a_{i,j}$(其中$0 ＜ i \leq 5$,$0 ＜ j \leq 5$,且$i$,$j$都是整数),对于表中的每个数$a_{i,j}$,规定如下：当$i \geq j$时,$a_{i,j} = 1$；当$i ＜ j$时,$a_{i,j} = 0$。例如：当$i = 2$,$j = 1$时,$a_{i,j} = a_{2,1} = 1$。按此规定,$a_{1,3} = $0；图①的25个数中,共有15个1；计算$a_{1,1} \cdot a_{i,1} + a_{1,2} \cdot a_{i,2} + a_{1,3} \cdot a_{i,3} + a_{1,4} \cdot a_{i,4} + a_{1,5} \cdot a_{i,5}$的结果为1。
解析：因为$a_{i,j}$的值只可能是0或1,所以可以把图①转化成只含有0和1的新图。因为第1行中,只有第一个数$a_{1,1}的i \geq j$,其余的都是$i ＜ j$,所以只有$a_{1,1} = 1$,其余的都是0。因为第2行中,只有前面两个数$a_{2,1}$,$a_{2,2}的i \geq j$,其余的都是$i ＜ j$,所以只有前面两个数$a_{2,1} = 1$,$a_{2,2} = 1$,其余的都是0。类似地,可以得到第3,4,5行的数。于是可把图①转化成图②。由图②,可知$a_{1,3} = 0$；图中的25个数中,共有$1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$(个)1。因为$i$,$j$是不大于5的正整数,即$1 \leq i \leq 5$,所以$a_{i,1} = 1$。又由图②,可知$a_{1,1} = 1$,$a_{1,2} = a_{1,3} = a_{1,4} = a_{1,5} = 0$。所以$a_{1,1} \cdot a_{i,1} + a_{1,2} \cdot a_{i,2} + a_{1,3} \cdot a_{i,3} + a_{1,4} \cdot a_{i,4} + a_{1,5} \cdot a_{i,5} = 1×1 + 0×a_{i,2} + 0×a_{i,3} + 0×a_{i,4} + 0×a_{i,5} = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1$。

答案：0；15；1.

答案： 0；15；1.