《2025年通城学典非常课课通七年级数学上册苏科版》

典例 6 定义一种新运算：$a * b = 3a - 4b$.
(1) 求 $5*(-5)$ 的值；
(2) 解方程：$x*(x - 3)= 1$；
(3) 解方程：$2*(2*x)= -34$.
解析：(1) 把 $a = 5$,$b = -5$ 代入新运算的结果 $3a - 4b$ 中,转化成求代数式的值. (2) 类似(1),根据当 $a = x$,$b = x - 3$ 时,$3a - 4b$ 的值为 1,可得关于 $x$ 的方程,再根据解一元一次方程的步骤解方程即可. (3) 先把 $2*x$ 转化成含 $x$ 的代数式,然后把 $2*(2*x)$ 转化成含 $x$ 的代数式,最后类似第(2)小题解答.
解：(1) $5*(-5)= 3×5 - 4×(-5)= 35$.
(2) 因为 $x*(x - 3)= 1$,所以 $3x - 4(x - 3)= 1$. 去括号,得 $3x - 4x + 12 = 1$. 移项、合并同类项,得 $-x = -11$. 系数化为 1,得 $x = 11$.
(3) 由题意,得 $2*(2*x)= 2*(6 - 4x)= 6 - 4(6 - 4x)$. 因为 $2*(2*x)= -34$,所以 $6 - 4(6 - 4x)= -34$. 去括号,得 $6 - 24 + 16x = -34$. 移项、合并同类项,得 $16x = -16$. 系数化为 1,得 $x = -1$.

答案： 答题卡作答：
(1) $5*(-5) = 3 × 5 - 4 × (-5) = 15 + 20 = 35$。
(2)由题意，将$a = x$，$b = x - 3$代入$a*b=3a-4b$中，得：
$3x - 4(x - 3) = 1$，
去括号，可得：
$3x - 4x + 12 = 1$，
移项、合并同类项，可得：
$-x = -11$，
系数化为1，两边同时除以-1，解得：
$x = 11$。
(3)首先计算内层运算$2*x$：
将$a = 2$，$b = x$代入$a*b=3a-4b$中，得$2*x = 3 × 2 - 4x = 6 - 4x$。
然后将其代入外层运算$2*(2*x)$中，得：
$2*(2*x) = 2*(6 - 4x)$
$=3 × 2 - 4(6 - 4x)$
$= 6 - 24 + 16x$
$= 16x - 18$（也可以写成$-18+16x$）
由题意，$2*(2*x) = -34$，所以：
$16x - 18 = -34$，
移项，可得：
$16x = -34+18$，
合并同类项得：
$16x = -16$，
系数化为1，两边同时除以16，解得：
$x = -1$。

典例 7(2024·宿城期末)我们规定,关于 $x$ 的一元一次方程 $mx = n$($m \neq 0$)的解为 $x = m + n$,则称该方程为和解方程,例如 $2x = -4$ 的解为 $x = -2 = 2 - 4$,则此方程为和解方程.
解答下列问题：
(1) 有下列一元一次方程：① $\frac{2}{3}x= -\frac{2}{3}$；② $-3x= \frac{9}{4}$；③ $5x = -2$. 其中,是和解方程的有______(填序号).
(2) 若关于 $x$ 的一元一次方程 $3x = 2a - 10$ 是和解方程,则 $a= $______.
(3) 若关于 $x$ 的一元一次方程 $3x = a + b$ 是和解方程,则代数式 $2(a^{2}+b)+\frac{1}{2}(4a - a^{2})-\frac{3}{2}a^{2}$ 的值为______.
(4) 关于 $x$ 的一元一次方程 $3x = a + b$ 是和解方程且它的解为 $x = a$,求代数式 $2ab(a + b)$ 的值.
解析：(1) 解方程 $\frac{2}{3}x= -\frac{2}{3}$,得 $x = -1$. 因为 $-1 \neq \frac{2}{3}-\frac{2}{3}$,所以①不是和解方程. 解方程 $-3x= \frac{9}{4}$,得 $x = -\frac{3}{4}$. 因为 $-\frac{3}{4}= -3+\frac{9}{4}$,所以②是和解方程. 解方程 $5x = -2$,得 $x = -\frac{2}{5}$. 因为 $-\frac{2}{5} \neq 5 - 2$,所以③不是和解方程. (2) 解方程 $3x = 2a - 10$,得 $x= \frac{2a - 10}{3}$. 因为 $3x = 2a - 10$ 是和解方程,所以 $\frac{2a - 10}{3}= 3 + 2a - 10$,解得 $a= \frac{11}{4}$.
(3) 解方程 $3x = a + b$,得 $x= \frac{a + b}{3}$. 因为 $3x = a + b$ 是和解方程,所以 $\frac{a + b}{3}= 3 + a + b$. 整理,得 $a + b = -\frac{9}{2}$. 所以 $2(a^{2}+b)+\frac{1}{2}(4a - a^{2})-\frac{3}{2}a^{2}= 2a^{2}+2b + 2a - \frac{1}{2}a^{2}-\frac{3}{2}a^{2}= 2b + 2a = 2(a + b)= 2×(-\frac{9}{2})= -9$. (4) 由 $3x = a + b$ 是和解方程且它的解为 $x = a$,可得 $b$ 的值. 结合(3)可得 $a$ 的值. 把 $a$,$b$ 的值代入可得代数式 $2ab(a + b)$ 的值.
解：(1) ②.
(2) $\frac{11}{4}$.
(3) $-9$.
(4) 因为 $3x = a + b$ 是和解方程,它的解为 $x = a$,所以 $a = 3 + a + b$,解得 $b = -3$. 解方程 $3x = a + b$,得 $x= \frac{a + b}{3}$. 因为这个方程是和解方程,所以 $\frac{a + b}{3}= 3 + a + b$. 整理,得 $a + b = -\frac{9}{2}$. 因为 $b = -3$,所以 $a - 3 = -\frac{9}{2}$,解得 $a = -\frac{3}{2}$. 当 $a = -\frac{3}{2}$,$b = -3$ 时,$2ab(a + b)= 2×(-\frac{3}{2})×(-3)×[(-\frac{3}{2})+(-3)]= 2×(-\frac{3}{2})×(-3)×(-\frac{9}{2})= -\frac{81}{2}$.
<答案>②。
(2)
解方程$3x = 2a - 10$，得$x=\frac{2a - 10}{3}$。
因为$3x = 2a - 10$是和解方程，所以$\frac{2a - 10}{3}=3 + 2a - 10$，
$\frac{2a - 10}{3}=2a - 7$，
$2a - 10 = 6a - 21$，
$4a = 11$，
解得$a=\frac{11}{4}$。
(3)
解方程$3x = a + b$，得$x=\frac{a + b}{3}$。
因为$3x = a + b$是和解方程，所以$\frac{a + b}{3}=3 + a + b$，
$a + b = 9 + 3a + 3b$，
$2a + 2b=-9$，
$a + b = -\frac{9}{2}$。
$2(a^{2}+b)+\frac{1}{2}(4a - a^{2})-\frac{3}{2}a^{2}=2a^{2}+2b + 2a-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{3}{2}a^{2}=2a + 2b = 2(a + b)=2×(-\frac{9}{2})=-9$。
(4)
因为$3x = a + b$是和解方程且它的解为$x = a$，所以$a = 3 + a + b$，解得$b = - 3$。
又因为$\frac{a + b}{3}=3 + a + b$，即$a + b = 9 + 3a + 3b$，$2a + 2b=-9$，把$b = - 3$代入$2a + 2b=-9$，得$2a-6=-9$，$2a=-3$，解得$a = -\frac{3}{2}$。
当$a = -\frac{3}{2}$，$b = - 3$时，$2ab(a + b)=2×(-\frac{3}{2})×(-3)×[(-\frac{3}{2})+(-3)]=2×(-\frac{3}{2})×(-3)×(-\frac{9}{2})=-\frac{81}{2}$。
答案依次为：(1)②；(2)$\frac{11}{4}$；(3)$-9$；(4)$-\frac{81}{2}$。

答案： ②。
(2)
解方程$3x = 2a - 10$，得$x=\frac{2a - 10}{3}$。
因为$3x = 2a - 10$是和解方程，所以$\frac{2a - 10}{3}=3 + 2a - 10$，
$\frac{2a - 10}{3}=2a - 7$，
$2a - 10 = 6a - 21$，
$4a = 11$，
解得$a=\frac{11}{4}$。
(3)
解方程$3x = a + b$，得$x=\frac{a + b}{3}$。
因为$3x = a + b$是和解方程，所以$\frac{a + b}{3}=3 + a + b$，
$a + b = 9 + 3a + 3b$，
$2a + 2b=-9$，
$a + b = -\frac{9}{2}$。
$2(a^{2}+b)+\frac{1}{2}(4a - a^{2})-\frac{3}{2}a^{2}=2a^{2}+2b + 2a-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{3}{2}a^{2}=2a + 2b = 2(a + b)=2×(-\frac{9}{2})=-9$。
(4)
因为$3x = a + b$是和解方程且它的解为$x = a$，所以$a = 3 + a + b$，解得$b = - 3$。
又因为$\frac{a + b}{3}=3 + a + b$，即$a + b = 9 + 3a + 3b$，$2a + 2b=-9$，把$b = - 3$代入$2a + 2b=-9$，得$2a-6=-9$，$2a=-3$，解得$a = -\frac{3}{2}$。
当$a = -\frac{3}{2}$，$b = - 3$时，$2ab(a + b)=2×(-\frac{3}{2})×(-3)×[(-\frac{3}{2})+(-3)]=2×(-\frac{3}{2})×(-3)×(-\frac{9}{2})=-\frac{81}{2}$。
答案依次为：
(1)②；
(2)$\frac{11}{4}$；
(3)$-9$；
(4)$-\frac{81}{2}$。