《2025年通城学典非常课课通七年级数学上册苏科版》

典例2 (2024·峡江期末)如图，$ C $，$ D $是线段$ AB $上两点。已知$ AC:CD:DB = 1:2:3 $，$ M $，$ N $分别为$ AC $，$ DB $的中点，且$ AB = 18 $，求线段$ MN $的长。

解析：直接求$ MN $的长比较困难，可考虑运用线段的和把$ MN $转化成$ MC + CD + DN $。由于$ AC:CD:DB = 1:2:3 $，故设$ AC = k $，则$ CD = 2k $，$ DB = 3k $。由$ AB = 18 $得到关于$ k $的方程，解之可得$ AC $，$ CD $，$ DB $的长。根据中点的定义求出$ CM $，$ DN $的长，进而可得$ MN $的长。
解：设$ AC = k $。因为$ AC:CD:DB = 1:2:3 $，所以$ CD = 2k $，$ DB = 3k $。因为$ AB = 18 $，所以$ k + 2k + 3k = 18 $，解得$ k = 3 $。所以$ AC = 3 $，$ CD = 2×3 = 6 $，$ DB = 3×3 = 9 $。因为$ M $，$ N $分别为$ AC $，$ DB $的中点，所以$ MC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×3 = \frac{3}{2} $，$ DN = \frac{1}{2}DB = \frac{1}{2}×9 = \frac{9}{2} $。所以$ MN = MC + CD + DN = \frac{3}{2} + 6 + \frac{9}{2} = 12 $。所以线段$ MN $的长为12。
方法归纳

答案： 设$AC = k$。
因为$AC:CD:DB = 1:2:3$，所以$CD = 2k$，$DB = 3k$。
因为$AB = 18$，所以$k + 2k + 3k = 18$，
解得$k = 3$。
所以$AC = 3$，$CD = 2×3 = 6$，$DB = 3×3 = 9$。
因为$M$，$N$分别为$AC$，$DB$的中点，
所以$MC =\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×3 = 1.5$，
$DN =\frac{1}{2}DB=\frac{1}{2}×9 = 4.5$。
所以$MN = MC + CD + DN = 1.5 + 6 + 4.5 = 12$。
所以线段$MN$的长为$12$。

典例3 (2024·泰州期末)已知线段$ AB = 10 $，点$ C $在直线$ AB $上，$ AC = 4 $，$ D $是线段$ BC $的中点，则线段$ AD $的长为（D）
A. 3 B. 6 C. 3或6 D. 3或7
解析：因为点$ C $的位置不确定，故根据点$ C $的可能位置分三种情况讨论：①当点$ C $在线段$ AB $的反向延长线上时，如图①。因为$ AB = 10 $，$ AC = 4 $，所以$ BC = AB + AC = 10 + 4 = 14 $。因为$ D $是线段$ BC $的中点，所以$ CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×14 = 7 $。所以$ AD = CD - AC = 7 - 4 = 3 $。②当点$ C $在线段$ AB $上时，如图②。因为$ AB = 10 $，$ AC = 4 $，所以$ BC = AB - AC = 10 - 4 = 6 $。因为$ D $是线段$ BC $的中点，所以$ CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×6 = 3 $。所以$ AD = AC + CD = 4 + 3 = 7 $。③当点$ C $在线段$ AB $的延长线上时，$ AC ＞ AB $，这与$ AC = 4 $，$ AB = 10 $矛盾，所以此种情况不存在。综上所述，线段$ AD $的长为3或7。

答案：D.

答案： D

典例4 如图，点$ A_1 $，$ A_2 $，$ A_3 $，$ A_4 $，$ \cdots $，$ A_n $（$ n $为正整数）在同一条直线上。
(1) 图中以$ A_1 $，$ A_2 $，$ A_3 $这三个点为端点的线段共有3条；
(2) 图中以$ A_1 $，$ A_2 $，$ A_3 $，$ A_4 $这四个点为端点的线段共有6条；
(3) 图中以$ A_1 $，$ A_2 $，$ A_3 $，$ A_4 $，$ \cdots $，$ A_n $为端点的线段共有$\frac{n(n-1)}{2}$条。

解析：(1) 图中以$ A_1 $，$ A_2 $，$ A_3 $为端点的线段有线段$ A_1A_2 $，$ A_1A_3 $，$ A_2A_3 $，共有3条。(2) 图中以$ A_1 $，$ A_2 $，$ A_3 $，$ A_4 $为端点的线段有线段$ A_1A_2 $，$ A_1A_3 $，$ A_1A_4 $，$ A_2A_3 $，$ A_2A_4 $，$ A_3A_4 $，共有6条。(3) 第(1)小题中$ n = 3 $，线段的条数为$ 3 = 1 + 2 = \frac{3×2}{2} = \frac{3×(3 - 1)}{2} $；第(2)小题中$ n = 4 $，线段的条数为$ 6 = 1 + 2 + 3 = \frac{4×3}{2} = \frac{4×(4 - 1)}{2} $；故以$ A_1 $，$ A_2 $，$ A_3 $，$ A_4 $，$ \cdots $，$ A_n $为端点的线段共有$ 1 + 2 + 3 + \cdots + (n - 1) = \frac{n(n - 1)}{2} $条。
答案：(1) 3. (2) 6. (3) $ \frac{n(n - 1)}{2} $.

答案：
(1) 3
(2) 6
(3) $\frac{n(n-1)}{2}$