《2025年通城学典非常课课通七年级数学上册苏科版》

典例3 如图,点A处有一只猫,点B处有一只老鼠,从点A到点B有两条路径,分别为①和②。现在猫以不变的速度去捉老鼠,你认为猫走哪条路径才能在较短的时间内捉到老鼠？ 为什么？

解析：因为猫以不变的速度去捉老鼠,所以要比较走哪条路径能先捉到老鼠,只需比较路径①和②的长短。通过平移,构造出较熟悉的长方形,可知 CD 的长等于 GE 的长,DE 的长等于 CG 的长,所以两条路径的长度相等,即两条路径捉到老鼠的时间相同。
解：两条路径一样长,随便走哪一条,捉到老鼠的时间相同。因为平移后,路径①和②的长度都等于构造出的长方形的一条长与一条宽之和(其周长的一半)。
方法归纳
化曲为直解决问题的方法
化曲为直解决问题分两种情况：一种情况是比较平面内的线段和的长短,这种题目一般可先通过适当的平移,把其中的曲线(或折线)转化到某一条线段上,再进行比较；另一种情况是寻找几何体的表面两点之间的最短距离,这时一般先把几何体展开(七上第 5 章),转化成平面图形,然后利用平面图形的知识进行解答。

答案： 两条路径一样长，捉到老鼠的时间相同。
理由：通过平移，路径①的长度为AF+FB，路径②的长度为AC+CD+DE+EB。由平移性质可知，AF=CD+DE，FB=AC+EB，故路径①和路径②的长度均等于长方形的一条长与一条宽之和，因此两条路径长度相等。

典例4 (盘锦中考)如图,以三角形各顶点为圆心、2 为半径分别画圆,则图中三个扇形区域(即涂色部分)的面积之和为2π(结果保留 π)。

解析：因为涂色部分为三个半径为 2 的扇形,且 $∠BAC$,$∠ABC$,$∠ACB$ 的度数和为 $180^{\circ}$,所以图中三个扇形区域的面积之和为半径为 2 的半圆的面积,为 $\frac{1}{2}×π×2^{2} = 2π$。
答案：$2π$。

答案： $2\pi$