《2025年通城学典非常课课通七年级数学上册苏科版》

题型六用作差法比较整式大小
典例8若$M= a^{2}+a+4$,$N= a-1$,则M,N的大小关系为(B)
A. $M＜N$
B. $M＞N$
C. $M= N$
D. $M≥N$
解析：直接比较M,N的大小比较困难,可以通过作差法来比较大小.因为$M-N= (a^{2}+a+4)-(a-1)= a^{2}+a+4-a+1= a^{2}+5$,而$a^{2}≥0$,所以$a^{2}+5＞0$.所以$M-N＞0$,即$M＞N$.
答案：B.
方法归纳
用作差法比较整式大小的方法
用作差法比较整式大小时,一般先列式计算两个整式的差,然后由差的正负来判断它们的大小.若差大于0,则作为被减数的整式大；若差等于0,则这两个整式相等；若差小于0,则作为减数的整式大.

答案： B

题型七多项式的缺项问题
典例9(2024·黄石港期末)已知多项式$2(mx^{2}-x-\frac{7}{2})+4x^{2}+3nx$的值与x的取值无关.求：
(1)m,n的值；
(2)$3(2m^{2}-3mn-5m-1)+6(-m^{2}+mn-1)$的值.
解析：(1)先把这个多项式通过合并同类项化简,然后找出所有的含x的项,令这些项的系数等于0,可得m,n的值.(2)先化简原式,然后把(1)中的m,n的值代入可求得原式的值.
解：(1)因为$2(mx^{2}-x-\frac{7}{2})+4x^{2}+3nx= 2mx^{2}-2x-7+4x^{2}+3nx= (2m+4)x^{2}+(3n-2)x-7$,所以这个式子中含x的项为$(2m+4)x^{2}$,$+(3n-2)x$.因为多项式的值与x的取值无关,所以$2m+4= 0$,$3n-2= 0$,解得$m= -2$,$n= \frac{2}{3}$.
(2)原式$=6m^{2}-9mn-15m-3-6m^{2}+6mn-6= -3mn-15m-9$.当$m= -2$,$n= \frac{2}{3}$时,原式$=-3×(-2)×\frac{2}{3}-15×(-2)-9= 25$.

答案：
(1) $2(mx^{2}-x-\frac{7}{2})+4x^{2}+3nx$
$=2mx^{2}-2x-7+4x^{2}+3nx$
$=(2m+4)x^{2}+(3n-2)x-7$
因为多项式的值与$x$的取值无关，所以$2m+4=0$，$3n-2=0$
解得$m=-2$，$n=\frac{2}{3}$
(2) $3(2m^{2}-3mn-5m-1)+6(-m^{2}+mn-1)$
$=6m^{2}-9mn-15m-3-6m^{2}+6mn-6$
$=-3mn-15m-9$
当$m=-2$，$n=\frac{2}{3}$时，
原式$=-3×(-2)×\frac{2}{3}-15×(-2)-9$
$=4 + 30 - 9$
$=25$
(1) $m=-2$，$n=\frac{2}{3}$；
(2) $25$

题型八利用整式加减说理
典例10(2024·万州期末)有这样一道题：求$(2x^{3}-3x^{2}y-2xy^{2})-(x^{3}-2xy^{2}+y^{2})+(-x^{3}+3x^{2}y-y^{3})$的值,其中$x= \frac{1}{3}$,$y= -1$.甲同学把“$x= \frac{1}{3}$”错抄成“$x= -\frac{1}{3}$”,但他计算的结果却是正确的.这是怎么回事呢？请你通过计算说明.
解析：先化简代数式,再根据化简结果进行说理.
解：因为原式$=2x^{3}-3x^{2}y-2xy^{2}-x^{3}+2xy^{2}-y^{2}-x^{3}+3x^{2}y-y^{3}= -y^{3}-y^{2}$,所以计算结果与x的取值无关.因为甲同学把“$x= \frac{1}{3}$”错抄成“$x= -\frac{1}{3}$”,所以他计算的结果是正确的.

答案： 解：原式$=2x^{3}-3x^{2}y-2xy^{2}-x^{3}+2xy^{2}-y^{2}-x^{3}+3x^{2}y-y^{3}$
$=(2x^{3}-x^{3}-x^{3})+(-3x^{2}y+3x^{2}y)+(-2xy^{2}+2xy^{2})-y^{2}-y^{3}$
$=0+0+0 - y^{2}-y^{3}$
$=-y^{3}-y^{2}$
因为化简后的结果中不含$x$，所以原式的值与$x$的取值无关。故甲同学把“$x=\frac{1}{3}$”错抄成“$x=-\frac{1}{3}$”，计算结果仍正确。