《2025年通城学典非常课课通七年级数学上册苏科版》

典例5 (徐州期末改编)如图①，线段$ AB = 24 $，动点$ P $从点$ A $出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线$ AB $运动，运动时间为$ t $秒（$ 0 ＜ t ≤ 24 $），$ M $是线段$ AP $的中点。
(1) 若点$ P $在线段$ AB $上运动，当$ t $为多少时，$ PB = 2AM $？
(2) 若点$ P $在射线$ AB $上运动，$ N $是线段$ PB $的中点，求线段$ MN $的长度。
(3) $ N $为线段$ PB $上一点，当$ PN = 2BN $时，是否存在这样的$ t $，使得$ M $，$ N $，$ P $三个点中的一个点是以其余两个点为端点的线段的中点？如果存在，请求出$ t $的值；如果不存在，请说明理由。

解析：(1) 先用含$ t $的代数式分别表示$ AP $，$ PB $的长度，然后由中点的定义用含$ t $的代数式表示$ AM $的长度，最后根据$ PB = 2AM $得到关于$ t $的方程，解之即可。(2) 由于点$ P $的位置不确定，故分点$ P $在线段$ AB $上（如图②）、在线段$ AB $的延长线上（如图③）两种情况分别画图求解。求解时，先用含$ t $的代数式分别表示$ PM $，$ PN $的长度，然后可得$ MN $的长度。(3) 同理于(2)分两种情况分别画图求解，若求出符合题意的$ t $的值，则存在；反之，则不存在。
解：因为运动时间为$ t $秒，
所以$ AP = 2t $。
因为$ M $是线段$ AP $的中点，
所以$ AM = PM = \frac{1}{2}AP = t $。
(1) 因为点$ P $在线段$ AB $上运动，
所以$ PB = AB - AP = 24 - 2t $。
又因为$ PB = 2AM $，
所以$ 24 - 2t = 2t $，解得$ t = 6 $。
所以当$ t $为6时，$ PB = 2AM $。
(2) 分两种情况讨论：① 如图②，当点$ P $在线段$ AB $上时，$ PB = AB - AP = 24 - 2t $。
因为$ N $是线段$ PB $的中点，
所以$ PN = \frac{1}{2}PB = 12 - t $。
所以$ MN = PM + PN = t + (12 - t) = 12 $。
② 如图③，当点$ P $在线段$ AB $的延长线上时，$ PB = AP - AB = 2t - 24 $。
因为$ N $是线段$ PB $的中点，
所以$ PN = \frac{1}{2}PB = t - 12 $。
所以$ MN = PM - PN = t - (t - 12) = 12 $。
综上所述，线段$ MN $的长度为12。
(3) 存在。
假设存在这样的$ t $值。分两种情况讨论：
① 如图④，当点$ P $在线段$ AB $上时，$ 0 ＜ t ≤ 12 $。
因为$ AP = 2t $，
所以$ PB = 24 - 2t $。
因为$ PN = 2BN $，
所以$ PN = \frac{2}{3}PB = \frac{2}{3}(24 - 2t) $。
若$ PM = PN $，则$ t = \frac{2}{3}(24 - 2t) $，解得$ t = \frac{48}{7} $。
② 如图⑤，当点$ P $在线段$ AB $的延长线上时，$ 12 ＜ t ≤ 24 $。
因为$ AP = 2t $，
所以$ PB = 2t - 24 $。
因为$ PN = 2BN $，
所以$ PN = \frac{2}{3}PB = \frac{2}{3}(2t - 24) $。
若$ MN = PN $，即$ PM = 2PN $，则$ t = 2×\frac{2}{3}(2t - 24) $，解得$ t = \frac{96}{5} $。
综上所述，当$ t = \frac{48}{7} $时，$ P $是线段$ MN $的中点；当$ t = \frac{96}{5} $时，$ N $是线段$ MP $的中点。

答案： （1）因为运动时间为$t$秒，所以$AP = 2t$，
因为$M$是线段$AP$的中点，
所以$AM = \frac{1}{2}AP = t$，
因为点$P$在线段$AB$上运动，
所以$PB = AB - AP = 24 - 2t$，
又因为$PB = 2AM$，
所以$24 - 2t = 2t$，
解得$t = 6$，
所以当$t$为$6$时，$PB = 2AM$。
（2）当点$P$在线段$AB$上时，$PB = 24 - 2t$，
因为$N$是线段$PB$的中点，
所以$PN = \frac{1}{2}PB = 12 - t$，
所以$MN = PM + PN = t + 12 - t = 12$；
当点$P$在线段$AB$的延长线上时，$PB = 2t - 24$，
因为$N$是线段$PB$的中点，
所以$PN = \frac{1}{2}PB = t - 12$，
所以$MN = PM - PN = t - (t - 12) = 12$，
综上所述，线段$MN$的长度为$12$。
（3）存在。
当点$P$在线段$AB$上时，$0 ＜ t \leq 12$，
因为$AP = 2t$，
所以$PB = 24 - 2t$，
因为$PN = 2BN$，
所以$PN = \frac{2}{3}PB = \frac{2}{3}(24 - 2t)$，
若$PM = PN$，则$t = \frac{2}{3}(24 - 2t)$，
解得$t = \frac{48}{7}$；
当点$P$在线段$AB$的延长线上时，$12 ＜ t \leq 24$，
因为$AP = 2t$，
所以$PB = 2t - 24$，
因为$PN = 2BN$，
所以$PN = \frac{2}{3}PB = \frac{2}{3}(2t - 24)$，
若$MN = PN$，即$PM = 2PN$，
则$t = 2×\frac{2}{3}(2t - 24)$，
解得$t = \frac{96}{5}$，
综上所述，当$t = \frac{48}{7}$时，$P$是线段$MN$的中点；当$t = \frac{96}{5}$时，$N$是线段$MP$的中点。