《2025年通城学典非常课课通七年级数学上册苏科版》

示例7 (1) (苏州期末)已知$ AB = 2a $（$ a ＞ 0 $）。给出下列四个条件：①$ AC + BC = 2a $；②$ AB = 2AC $；③$ AC = BC $；④$ AC = BC = a $。其中，能确定$ C $是线段$ AB $的中点的有（A）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
(2) (2024·盐田期末)如图①，线段$ AB = 10\mathrm{cm} $，点$ N $在$ AB $上，$ NB = 2\mathrm{cm} $，$ M $是$ AB $的中点，则线段$ MN $的长为（C）
A. $ 5\mathrm{cm} $ B. $ 4\mathrm{cm} $ C. $ 3\mathrm{cm} $ D. $ 2\mathrm{cm} $

解析：(1) 如图②，根据小学所学的线段的和差，可知只要点$ C $在线段$ AB $上，就一定有$ AC + BC = AB = 2a $，所以①错误。如图③，$ AB = 2AC $，由图，可知$ C $显然不是$ AB $的中点，所以②错误。如图④，$ AC = BC $，由图，可知$ C $显然不是$ AB $的中点，所以③错误。因为$ AC = BC = a $，所以$ AC + BC = a + a = 2a = AB $。所以点$ C $在线段$ AB $上。又因为$ AC = BC $，根据线段的中点的几何语言，可知④正确。综上所述，能确定$ C $是线段$ AB $的中点的只有1个。(2) 因为$ M $是$ AB $的中点，$ AB = 10\mathrm{cm} $，所以$ BM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×10 = 5 $（$ \mathrm{cm} $）。因为$ NB = 2\mathrm{cm} $，所以$ MN = BM - NB = 5 - 2 = 3 $（$ \mathrm{cm} $）。
答案：(1) A. (2) C.
◀ 点拨 1. 要重视文字语言、符号语言、图形语言三者之间的互译，这是学习几何知识的一项重要的基本功。
2. 对于第(1)小题这种没有图形的几何问题，我们一般先画出图形，然后结合图形解答。
3. 用线段中点求未知线段的长度时，经常会根据图形结合线段的和、差来求解。

答案：
(1) A；
(2) C

典例1 如图①，已知四点$ A $，$ B $，$ C $，$ D $，请用尺规完成作图（保留作图痕迹）。
(1) 画直线$ AB $，射线$ AC $；
(2) 连接$ BC $并延长$ BC $到点$ E $，使得$ CE = AB + BC $；
(3) 在线段$ BD $上取点$ P $，使$ PA + PC $的值最小。

解析：(1) 连接点$ A $，$ B $，得线段$ AB $，并向两个方向延伸，即超过两个端点，可得直线$ AB $；画线段$ AC $并向$ AC $方向延伸，即超过端点$ C $，可得射线$ AC $。
(2) 画线段$ BC $，然后向着$ BC $方向延伸，并在同方向以点$ C $为圆心，在射线$ BC $上依次截取$ CF = AB $，$ FE = BC $，则可得$ CE = AB + BC $。(3) 根据“两点之间，线段最短”，要使$ PA + PC $的值最小，须使点$ P $在线段$ AC $上。又因为点$ P $在线段$ BD $上，所以$ P $为线段$ AC $与线段$ BD $的交点。
解：(1)～(3) 如图②所示。

答案：
(1) ①连接点A和点B，并向两端延长得到直线AB；②以点A为端点，经过点C画射线并向点C方向延长得到射线AC。
(2) ①连接BC；②延长BC至射线BC上一点F，使CF=AB（以点C为圆心，AB长为半径画弧交射线BC于F）；③以点F为圆心，BC长为半径画弧交射线BC于点E，则CE=AB+BC。
(3) 连接AC，交线段BD于点P，点P即为所求。

1. 根据直线、射线、线段的相关概念画图时，需注意所画的线是否超过端点。
2. 画图时，要注意延长线及反向延长线的画法，并学会用语言描述画法。
3. 读句画图时，若某条线不是题目中要求画的，但是在画图时又需要画，这时我们通常把这条线画成虚线（如题中的线段$ BD $）。

答案： 由于本题未给出具体画图要求，下面以“读句画图：画直线AB、射线BC、线段AC，并画出线段BD(D为AB上一点)的延长线”为例给出作答示例：
1. 画直线$AB$：用直尺画出一条无限长的直线，经过点$A$和点$B$，无端点限制，向两端无限延伸。
2. 画射线$BC$：以点$B$为起点，经过点$C$，向$BC$方向无限延伸，另一端有端点$B$。
3. 画线段$AC$：连接点$A$和点$C$，线段$AC$有两个端点$A$和$C$。
4. 确定点$D$：在直线$AB$上任意取一点$D$（$D$在$A$和$B$之间）。
5. 画线段$BD$：连接点$B$和点$D$，画成实线，因为它是题目中明确要求的线段。
6. 画线段$BD$的延长线：从点$D$出发，沿着$BD$的反方向（即远离$B$的方向）延长线段$BD$，画成虚线，并标注为$BD$的延长线。
如果存在多种情况（如点D位置不同），需分情况讨论并画图。
最终图形应包含：直线$AB$、射线$BC$、线段$AC$、线段$BD$（实线）及其延长线（虚线）。