《2025年通城学典非常课课通七年级数学上册苏科版》

典例 8（2024·霍邱期末）如图，每个小正方形的面积均为 1. 将左边图形中涂色的小正方形移动，得到右边拼成的长方形，根据两种图形转换的方法计算小正方形的个数可以得出图中的等式.
（1）请写出第 3 个等式：$2 + 4 + 6 + 8 = 4×5$.
（2）猜想第 $n$ 个等式：$2 + 4 + 6 + \cdots +$$2(n + 1)$ = $(n + 1)(n + 2)$（用含 $n$ 的式子表示）.
（3）当 $n$ 为多少时，左边图形中最底端有 200 个小正方形？此时左边图形中共有多少个小正方形？

解析：（1）第 3 个图中左边图形中的小正方形的个数可表示为 $2 + 4 + 6 + 8$，右边长方形中的小正方形的个数可表示为 $4×5$. 因为右边长方形是将左边图形中涂色的小正方形移动拼成的，所以第 3 个等式为 $2 + 4 + 6 + 8 = 4×5$. （2）因为第 1 个等式：$2 + 4 = 2×3$，即 $2 + 2×(1 + 1) = (1 + 1)×(1 + 2)$；第 2 个等式：$2 + 4 + 6 = 3×4$，即 $2 + 4 + 2×(2 + 1) = (2 + 1)×(2 + 2)$；第 3 个等式：$2 + 4 + 6 + 8 = 4×5$，即 $2 + 4 + 6 + 2×(3 + 1) = (3 + 1)×(3 + 2)\cdots\cdots$所以第 $n$ 个等式：$2 + 4 + 6 + \cdots + 2(n + 1) = (n + 1)(n + 2)$. （3）结合（2）并根据“左边图形中最底端有 200 个小正方形”可得关于 $n$ 的方程，解之可得 $n$ 的值，并可得左边图形中共有的小正方形的个数.
解：（1）$2 + 4 + 6 + 8 = 4×5$.
（2）$2(n + 1)$；$(n + 1)(n + 2)$.
（3）根据题意，得 $2(n + 1) = 200$，解得 $n = 99$. 所以左边图形中小正方形的个数为 $2 + 4 + 6 + \cdots + 200 = (99 + 1)×(99 + 2) = 100×101 = 10100$. 所以当 $n = 99$ 时，左边图形中最底端有 200 个小正方形，此时左边图形中共有 10 100 个小正方形.
非常点评 运用数与形之间的转化，得到 $n$ 个连续偶数和的公式，是本题的解题关键. 运用本题的图形，还可以得到连续自然数（除 0 外）和的公式，有兴趣的同学可以试试.

答案： （1）$2 + 4 + 6 + 8 = 4×5$
（2）$2n + 2$（或$2(n + 1)$）；$(n + 1)(n + 2)$
（3）由$2(n + 1)=200$，解得$n = 99$。
$2 + 4 + 6+\cdots+200=(99 + 1)×(99 + 2)=10100$。
故当$n = 99$时，左边图形中最底端有200个小正方形，此时左边图形中共有10100个小正方形。

例 1 下列四张正方形硬纸片中，剪去涂色部分后沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是（C）

正确解答：选项 A 剪去涂色部分后，能折叠成无盖的正方体包装盒，故不合题意；选项 B 剪去涂色部分后，无法折叠成长方体，故不合题意；选项 C 剪去涂色部分后，能折叠成一个封闭的长方体包装盒，故符合题意；选项 D 剪去涂色部分后，无法折叠成长方体，故不合题意. 故选 C.
误区分析 有的同学不能根据平面图形确定是否能够折叠成几何体而错选 A 或 B 或 D.

答案： C