《2025年通城学典非常课课通七年级数学上册苏科版》

题型四 行程问题
典例4某校组织部分师生从学校(A地)到300km外的B地进行红色之旅,租用了客运公司甲、乙两辆车,其中乙车的速度是甲车速度的$\frac{4}{5}$,两车同时从学校出发,以各自的速度匀速行驶,行驶2h后甲车到达服务区C地,此时两车相距40km,甲车在服务区休息15min后按原速度开往B地,乙车行驶过程中未停留。
(1)求甲、乙两车的速度；
(2)甲车在C地结束休息后再行驶多长时间,甲、乙两车相距30km？
解析：(1)设甲车的速度为$x$km/h,2h后,甲、乙两车的位置如图①所示,根据示意图列方程求解。
(2)如图②,由(1)中所求数据,$15min = \frac{1}{4}h$,可求出$2\frac{1}{4}h$后甲车到A地的距离$AC = 200$km,乙车到A地的距离$AE = 180$km,此时甲车仍然在乙车的前面。继续行驶,当甲、乙两车相距30km时,甲车行驶的路程= 乙车行驶的路程+30km,据此列方程求解。

解：(1)设甲车的速度为$x$km/h,则乙车的速度为$\frac{4}{5}x$km/h。根据题意,得$2x = 40 + 2×\frac{4}{5}x$,解得$x = 100$。所以$\frac{4}{5}x = 80$。答：甲、乙两车的速度分别为100km/h,80km/h。
(2)设甲车在C地结束休息后再行驶$y$h后,甲、乙两车相距30km。$15min = \frac{1}{4}h$。因为$\frac{1}{4}×80 = 20$(km),$20 ＜ 40$,所以易知乙车总在甲车的后面。根据题意,得$100(2 + y) = 30 + 80(2 + \frac{1}{4} + y)$,解得$y = \frac{1}{2}$。此时$100×(2 + \frac{1}{2}) = 250$(km),$250 ＜ 300$,符合题意。
答：甲车在C地结束休息后再行驶$\frac{1}{2}h$,甲、乙两车相距30km。

答案：
(1)设甲车速度为$x$km/h，则乙车速度为$\frac{4}{5}x$km/h。根据题意，得$2x - 2×\frac{4}{5}x = 40$，解得$x = 100$。则$\frac{4}{5}x = 80$。答：甲、乙两车速度分别为100km/h，80km/h。
(2)设甲车在C地结束休息后再行驶$y$h，甲、乙两车相距30km。$15min=\frac{1}{4}h$。甲车休息时，乙车行驶$80×\frac{1}{4}=20$km，此时两车相距$40 - 20 = 20$km（甲车在前）。根据题意，得$100(2 + y)-80(2+\frac{1}{4}+y)=30$，即$200 + 100y - 180 - 80y=30$，解得$y=\frac{1}{2}$。此时甲车行驶路程$100×(2+\frac{1}{2})=250$km$＜300$km，符合题意。答：甲车在C地结束休息后再行驶$\frac{1}{2}h$。

题型五 数字问题
典例5有一个两位数,两个数位上的数字之和为8。如果把个位上的数字与十位上的数字对调,那么所得的新两位数比原两位数大18。求原两位数。
解析：设原两位数个位上的数字为$x$,列表如下：
| |十位上的数字|个位上的数字|这个数|
|原两位数|$8 - x$|$x$|$10(8 - x) + x$|
|新两位数|$x$|$8 - x$|$10x + (8 - x)$|

根据“新两位数-原两位数= 18”,列方程求解。
解：设原两位数个位上的数字为$x$。根据题意,得$10x + (8 - x) - [10(8 - x) + x] = 18$,解得$x = 5$。所以$8 - x = 8 - 5 = 3$。答：原两位数为35。

答案： 设原两位数个位上的数字为$x$，则十位上的数字为$8 - x$。
原两位数为$10(8 - x) + x$，新两位数为$10x + (8 - x)$。
根据题意，得：
$10x + (8 - x) - [10(8 - x) + x] = 18$
解得：
$x = 5$
则十位上的数字为：
$8 - x = 8 - 5 = 3$
答：原两位数为35。