《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

1. (2025·南京期中)窗户的窗帘(阴影部分)设计有如下两种方案:
第一种方案:如图①,窗帘由两个半径相同的四分之一圆组成;
第二种方案:如图②,窗帘由半径相同的一个半圆和两个四分之一圆组成.
(1)用代数式表示图①中窗帘的面积为$\frac{\pi b^{2}}{8}$;若$b = 4$,则窗帘的面积为2π(结果保留$π$);
(2)请比较两种设计方案,哪一种射进阳光的面积更大? 说明理由.

第二种方案射进阳光的面积更大,理由如下:
由题图②可知,窗帘的半径为$\frac{b}{4}$的一个半圆和两个四分之一圆组成,所以题图②中窗帘的面积为$\frac{1}{2}\pi\cdot\left(\frac{b}{4}\right)^{2}+2×\frac{1}{4}\pi\cdot\left(\frac{b}{4}\right)^{2}=\frac{\pi b^{2}}{16}$,由
(1)可知,题图①中窗帘的面积为$\frac{\pi b^{2}}{8}$,则题图①中射进阳光的面积为$ab - \frac{\pi b^{2}}{8}$,题图②中射进阳光的面积为$ab - \frac{\pi b^{2}}{16}$,$\left(ab - \frac{\pi b^{2}}{16}\right)-\left(ab - \frac{\pi b^{2}}{8}\right)=\frac{\pi b^{2}}{16}＞0$,所以第二种方案射进阳光的面积更大

答案： 1.
(1)$\frac{\pi b^{2}}{8}$　2π
(2)第二种方案射进阳光的面积更大,理由如下:
由题图②可知,窗帘的半径为$\frac{b}{4}$的一个半圆和两个四分之一圆组成,所以题图②中窗帘的面积为$\frac{1}{2}\pi\cdot\left(\frac{b}{4}\right)^{2}+2×\frac{1}{4}\pi\cdot\left(\frac{b}{4}\right)^{2}=\frac{\pi b^{2}}{16}$,由
(1)可知,题图①中窗帘的面积为$\frac{\pi b^{2}}{8}$,则题图①中射进阳光的面积为$ab - \frac{\pi b^{2}}{8}$,题图②中射进阳光的面积为$ab - \frac{\pi b^{2}}{16}$,$\left(ab - \frac{\pi b^{2}}{16}\right)-\left(ab - \frac{\pi b^{2}}{8}\right)=\frac{\pi b^{2}}{16}＞0$,所以第二种方案射进阳光的面积更大

2. (2025·盐城校级期中)实验研究:现有一个办事窗口,人们需要排队进行办公,每个人办事的时间称为他自身的办公时间,一个人除去自身办公以外所需消耗时间称为这个人的排队时间.如:若第一个人的办公时间为 3,第二个人的办公时间为 4,那么第一个人排队时间为 0,第二个人排队时间为 3,第三个人排队时间为 7.
不难发现,对每个人来说满足排队时间最短的方式是排在队伍的首位,这时排队时间为 0,但这对每个人来说不能同时满足.于是小组希望研究出最合适的安排可以使所有人的总排队时间最短.
假设现在有甲、乙、丙三人需要排队办公,他们的办公时间分别为 18,25,27.
(1)数据计算:对三种排队方案进行计算比较.
方案一:排队方式顺次为甲、乙、丙,则总排队时间为61;
方案二:排队方式顺次为乙、丙、甲,则总排队时间为77;
方案三:排队方式顺次为丙、乙、甲,则总排队时间为79.
实验结论:对比可知,方案一的总排队时间最短.(填“一”“二”或“三”)
(2)推广说明:甲、乙、丙三人排队办公,他们的办公时间分别为$a,b,c$(其中$a ＜ b ＜ c$),请给出所有的排队方式,从中选出总排队时间最短的方案并说明理由.
方案一:排队方式顺次为甲、乙、丙，则总排队时间为2a+b;方案二:排队方式顺次为甲、丙、乙，则总排队时间为2a+c;方案三:排队方式顺次为乙、甲、丙，则总排队时间为a+2b;方案四:排队方式顺次为乙、丙、甲，则总排队时间为2b+c;方案五:排队方式顺次为丙、甲、乙,则总排队时间为a+2c;方案六:排队方式顺次为丙、乙、甲,则总排队时间为b+2c,因为(2a+b)−(2a+c)=b−c＜0,所以方案一比方案二总排队时间短.因为(2a+b)−(a+2b)=a−b＜0,所以方案一比方案三总排队时间短.因为(2a+b)−(2b+c)=(a−b)+(a−c)＜0,所以方案一比方案四总排队时间短.因为(2a+b)−(a+2c)=(a−c)+(b−c)＜0,所以方案一比方案五总排队时间短.因为(2a+b)−(b+2c)=2(a - c)＜0,所以方案一比方案六总排队时间短.综上,方案一的总排队时间最短.

答案： 2.
(1)61　77　79　−　解析:数据计算:方案一;总排队时间为0+18+(18+25)=61;方案二:总排队时间为0+25+(25+27)=77;方案三:总排队时间为0+27+(27+25)=79,实验结论:61＜77＜79,所以方案一的总排队时间最短,
(2)方案一:排队方式顺次为甲、乙、丙，则总排队时间为2a+b;方案二:排队方式顺次为甲、丙、乙，则总排队时间为2a+c;方案三:排队方式顺次为乙、甲、丙，则总排队时间为a+2b;方案四:排队方式顺次为乙、丙、甲，则总排队时间为2b+c;方案五:排队方式顺次为丙、甲、乙,则总排队时间为a+2c;方案六:排队方式顺次为丙、乙、甲,则总排队时间为b+2c,因为(2a+b)−(2a+c)=b−c＜0,所以方案一比方案二总排队时间短.因为(2a+b)−(a+2b)=a−b＜0,所以方案一比方案三总排队时间短.因为(2a+b)−(2b+c)=(a−b)+(a−c)＜0,所以方案一比方案四总排队时间短.因为(2a+b)−(a+2c)=(a−c)+(b−c)＜0,所以方案一比方案五总排队时间短.因为(2a+b)−(b+2c)=2(a - c)＜0,所以方案一比方案六总排队时间短.综上,方案一的总排队时间最短.