《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

3. (2024·岳阳期末)如图,已知在同一平面内 $ \angle AOB = 90^{\circ} $,$ \angle AOC = 60^{\circ} $。
(1) 填空：$ \angle BOC = $150°。
(2) 若 $ OD $ 平分 $ \angle BOC $,$ OE $ 平分 $ \angle AOC $,直接写出 $ \angle DOE $ 的度数为45°。
(3) 试问在(2)的条件下,如果将题目中 $ \angle AOC = 60^{\circ} $ 改成 $ \angle AOC = 2\alpha (\alpha ＜ 45^{\circ}) $,其他条件不变,你能求出 $ \angle DOE $ 的度数吗？若能,请你写出求解过程；若不能,请说明理由。

能,求解过程如下:由题意得∠BOC=∠AOC+∠AOB=2α+90°,因为 OD 平分∠BOC,OE 平分∠AOC,所以∠COD= $\frac{1}{2}$∠BOC=α+45°,∠COE= $\frac{1}{2}$∠AOC=α,所以∠DOE=∠COD-∠COE=α+45°-α=45°.

答案： 3.
(1)150° 解析:由题意得∠BOC=∠AOC+∠AOB=60°+90°=150°.
(2)45° 解析:因为 OD 平分∠BOC,OE 平分∠AOC,所以∠COD= $\frac{1}{2}$∠BOC=75°,∠COE= $\frac{1}{2}$∠AOC=30°,所以∠DOE=∠COD-∠COE=75°-30°=45°.
(3)能,求解过程如下:由题意得∠BOC=∠AOC+∠AOB=2α+90°,因为 OD 平分∠BOC,OE 平分∠AOC,所以∠COD= $\frac{1}{2}$∠BOC=α+45°,∠COE= $\frac{1}{2}$∠AOC=α,所以∠DOE=∠COD-∠COE=α+45°-α=45°.

4. 如图①,在一个平面内有四条射线 $ OA $,$ OB $,$ OC $,$ OD $,射线 $ OP $ 平分 $ \angle AOD $,射线 $ OQ $ 平分 $ \angle BOD $,$ \angle BOC = 120^{\circ} $,$ \angle AOB = \frac{3}{2} \angle COD $。
(1) 当 $ \angle AOD = 140^{\circ} $ 时,求 $ \angle AOB $ 与 $ \angle DOQ $ 的度数；
(2) 求 $ 2 \angle AOP + 5 \angle BOQ $ 的度数；
(3) 如图②,确定 $ \angle AOP $ 与 $ \angle AOQ $ 之间的数量关系,并说明理由。

答案： 4.
(1)因为∠AOB= $\frac{3}{2}$∠COD,所以设∠COD=2α,∠AOB=3α.因为∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°,∠BOC=120°,∠AOD=140°,所以3α+120°+2α+140°=360°,所以α=20°,所以∠AOB=3α=60°,∠COD=2α=40°,所以∠BOD=∠BOC+∠COD=120°+40°=160°.因为 OQ 平分∠BOD,所以∠DOQ= $\frac{1}{2}$∠BOD=80°.
(2)由
(1)得,∠COD=2α,∠AOB=3α.因为∠BOC=120°,所以∠BOD=∠BOC+∠COD=120°+2α.因为 OQ 平分∠BOD,所以∠BOQ=∠DOQ= $\frac{1}{2}$∠BOD= $\frac{1}{2}$(120°+2α)=60°+α,所以α=∠BOQ-60°,所以∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-3α-120°-2α=240°-5α.因为 OP 平分∠AOD,所以∠AOP= $\frac{1}{2}$∠AOD= $\frac{1}{2}$(240°-5α)=120°- $\frac{5}{2}$α,所以∠AOP=120°- $\frac{5}{2}$(∠BOQ-60°),所以2∠AOP+5∠BOQ=540°.
(3)5∠AOQ+8∠AOP=360°.理由如下:由
(1)得∠COD=2α,∠AOB=3α.因为∠BOC=120°,所以∠BOD=360°-∠COD-∠BOC=360°-2α-120°=240°-2α.因为 OQ 平分∠BOD,所以∠BOQ= $\frac{1}{2}$∠BOD=120°-α,所以∠AOQ=∠AOB-∠BOQ=3α-(120°-α)=4α-120°,所以∠AOD=∠BOD-∠AOB=240°-2α-3α=240°-5α.因为 OP 平分∠AOD,所以∠AOP= $\frac{1}{2}$∠AOD=120°- $\frac{5}{2}$α,所以α=48°- $\frac{2}{5}$∠AOP,所以∠AOQ=4×(48°- $\frac{2}{5}$∠AOP)-120°,所以5∠AOQ+8∠AOP=360°.