《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

4. (2024·扬州期末)在综合与实践课上,老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动.已知直线 AB,CD,直角三角板 EFG,$AB// CD,∠FEG= 90^{\circ },∠ECF= 60^{\circ }$.
(1)小明将三角板按如图①方式摆放,点 G 在 CD 上,边 GF 与 AB 交于点 H,若$∠FHA= 80^{\circ }$,则$∠EGD= $____$^{\circ }$;
(2)小亮将三角板按如图②方式摆放,点 F,G 分别在 AB,CD 上,$∠FEG的平分线与∠FGC$的平分线交于点 M,若$∠EGD= 4∠BFE$,求$∠M$的度数;
(3)小颖将图②中的三角板进行适当转动,点 F,G 仍然分别在 AB,CD 上,如图③,再将$∠DGE$沿边 GE 翻折,边 GD 的对应边 GN 与 AB 交于点 N,小颖给出下列两个结论:①$∠CGN+∠BFE$的值不变;②$\frac {∠CGN}{∠BFE}$的值不变.其中只有一个是正确的,你认为哪个是正确的? 请说明理由.

答案：
4.
(1)40 解析:因为∠FHA=80°,AB//CD,所以∠CGH=∠AHF=80°.因为∠FGE=60°,所以∠EGD=180° - 60° - 80°=40°.
(2)如图,过点E作EK//AB,而AB//CD,所以AB//EK//CD,所以∠BFE=∠KEF,∠FEG=∠EGD,因为∠FEK+∠KEG=∠FEG=90°,所以∠BFE+∠EGD=90°.因为∠EGD=4∠BFE,所以∠BFE=18°,∠EGD=72°.因为∠FGE=60°,所以∠FGC=180° - 60° - 72°=48°.因为ME平分∠FEG,MG平分∠FGC,所以∠FEM=1/2×90°=45°,∠MGC=1/2×48°=24°,所以∠KEM=45° - 18°=27°,同理可得,∠M=∠KEM+∠MGC=27°+24°=51°.
　　　　　　　
(3)②∠CGN/∠BFE的值不变是正确的,理由:设∠DGE=∠NGE=x°,所以∠CGN=180° - 2x°,同理可得,∠BFE+∠DGE=∠FEG=90°,所以∠BFE=90° - x°,所以∠CGN+∠BFE=270° - 3x°,∠CGN/∠BFE=(180° - 2x°)/(90° - x°)=2,所以①∠CGN+∠BFE的值变化,②∠CGN/∠BFE的值不变.

5. (2024·扬州期末)初步感知:
(1)将一副三角板的直角顶点重合在一起,如图②所示,当$CE// AB$时,则$∠BCF= $____$^{\circ }$;
(2)如图③,当 CA 平分$∠ECF$时,请写出图中两条平行的直线,并说明理由.
深度探究:
(3)将上述三角板按图④所示的方式摆放,点 A,B 在直线 GH 上,点 D,F 在直线 MN 上,直线$GH// MN$,保持三角板 ABC 不动,现将三角板 DEF 绕点 D 以每秒$3^{\circ }$的速度顺时针旋转,设旋转时间为 t 秒,且$0≤t≤60$,是否存在 t 的值,使边 BC 与另一块三角板 DEF 的一条边平行,若存在,请求出 t 的值;若不存在,请说明理由.
(4)将上述三角板按图⑤所示的方式摆放,点 C 与点 D 重合,保持三角板 ABC 不动,将三角板 DEF 绕点 C 旋转,使点 F 在直线 BC 上方,当两块三角板的两条边互相平行时,若$∠BCF$的度数最大值为 m,最小值为 n,则$m-n= $____$^{\circ }$.

答案：
5.
(1)30 解析:因为CE//AB,∠A=30°,所以∠ACE=∠A=30°.因为∠BCF+∠ACF=∠ACE+∠ACF=90°,所以∠BCF=∠ACE=30°.
(2)BC//EF,理由如下:由
(1)可得∠BCF=∠ACE.因为CA平分∠ECF,∠ECF=90°,所以∠ACE=∠ACF=1/2∠ECF=45°,所以∠BCF=∠ACE=45°.因为∠F=45°,所以∠F=∠BCF,所以BC//EF.
(3)①如图①,当DE//BC时,延长AC交MN于点P,延长BC交MN于点Q,因为DE//BC,所以∠PDE=∠PQB.因为MN//GH,∠EDF=∠ACB=90°,∠BAC=30°,所以∠APD=∠BAC=30°,∠PQC=∠ABC=60°,所以∠PDE=60°,所以∠FDE+∠PDE+∠APD=180°,所以AP//DF,所以∠FDM=∠MPA=30°.因为旋转速度为每秒3°,所以t秒转过的角度为3t°,所以3t=30,解得t=10;
　　 　　
②当BC//DF时,如图②,延长BC交MN于点T,因为旋转速度为每秒3°,所以t秒转过的角度为3t°,根据题意得∠FDN=180° - 3t°.因为BC//DF,所以∠FDN=∠BTN.因为MN//GH,∠EDF=∠ACB=90°,∠BAC=30°,所以∠BTN=∠ABC=60°,所以∠FDN=60°,即180 - 3t=60,解得t=40;
③如图③,当EF//BC时,延长EF交GH于点Q,过点F作KL//GH,过点D作DP⊥MN,交GH于点P,因为∠ABC=∠FQA=60°,所以∠QFL=∠FQA=60°,所以∠KFE=60°.因为∠EFD=45°,所以∠KFD=∠KFE - ∠EFD=15°.因为GH//MN,GH//KL,所以KL//MN,所以∠FDN=∠KFD=15°,所以∠PDF=75°,所以∠PDE=∠FDE+∠PDF=165°.因为旋转速度为每秒3°,所以t秒转过的角度为3t°,所以3t°=165°,解得t=55.
综上所述,所有满足条件的t的值为10或40或55.
　　　 　
(4)135 解析:如图④,当AB//DE时,∠ACE=∠A=30°,∠ACF=90° - 30°=60°,所以∠BCF=∠ACB - ∠ACF=30°;
　　　 　　
如图⑤,当BC//EF时,∠F=∠BCF=45°;
如图⑥,当AB//DF时,∠ACF=∠A=30°,所以∠BCF=∠ACF+∠ACB=120°;
如图⑦,当EF//AC时,∠ACF=∠F=45°,所以∠BCF=∠ACF+∠ACB=135°;
　　 　　
如图⑧,当AB//EF时,延长BC交EF于点G,过点F作FH⊥AC于点H,因为AB//EF,所以∠CGF=180° - ∠B=120°.因为CG⊥AC,所以HF//CG,所以∠HFG=180° - ∠CGF=60°.因为∠DFG=45°,所以∠HFC=60° - 45°=15°,所以∠GCF=∠HFC=15°,所以∠BCF=180° - 15°=165°.综上,∠BCF的度数最大值m=165°,最小值n=30°,所以m - n=135°.