《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

1. 如图,直线 AE 与 CD 相交于点 B,射线 BF 平分$∠ABC$,射线 BG 在$∠ABD$内。
(1)若$∠DBE$的补角是它的余角的 3 倍,求$∠DBE$的度数；
(2)在(1)的条件下,若$∠DBG= ∠ABG-33^{\circ }$,求$∠ABG$的度数；
(3)若$∠FBG= 100^{\circ }$,求$∠ABG和∠DBG$的度数的差。

答案：
(1)设∠DBE=α,则∠DBE的补角是180°-α,它的余角是90°-α,依题意,得180°-α=3(90°-α),解得α=45°,所以∠DBE的度数为45°.
(2)由
(1)可知∠ABG+∠DBG=135°,又因为∠DBG=∠ABG-33°,所以∠ABG的度数为84°.°
(3)因为射线BF平分∠ABC,所以可设∠ABF=∠CBF=β又因为∠FBG=100°,所以∠ABG=100°-β,∠DBG=180°-100°-β=80°-β,所以∠ABG-∠DBG=(100°-β)-(80°-β)=20°,即∠ABG和∠DBG的度数的差为20°.

2. 新定义 如图①,射线 OC 在$∠AOB$的内部,图中共有 3 个角：$∠AOB$,$∠AOC和∠BOC$,若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍,则称射线 OC 是$∠AOB$的奇妙线。
(1)一个角的角平分线____是这个角的奇妙线。(填“是”或“不是”)
(2)如图②,若$∠MPN= 60^{\circ }$,射线 PQ 绕点 P 从 PN 位置开始,以每秒$10^{\circ }$的速度逆时针旋转,当$∠QPN首次等于180^{\circ }$时停止旋转,设旋转的时间为$t(s)$。
①当 t 为何值时,射线 PM 是$∠QPN$的奇妙线？
②若射线 PM 同时绕点 P 以每秒$6^{\circ }$的速度逆时针旋转,并与射线 PQ 同时停止旋转。请求出当射线 PQ 是$∠MPN$的奇妙线时 t 的值。

(1)是
(2)①当∠MPN=2∠MPQ时,10t=60+$\frac{1}{2}$×60,解得t=9;当∠QPN=2∠MPN时,10t=2×60,解得t=12;当∠QPM=2∠MPN时,10t=60+2×60,解得t=18.故当t为9或12或18时,射线PM∠QPN是的奇妙线..
②当∠MPQ=2∠QPN时,10t=$\frac{1}{3}$(6t+60),解得t=$\frac{5}{2}$;当∠MPN=2∠QPN时,10t=$\frac{1}{2}$(6t+60),解得t=$\frac{30}{7}$;当∠QPN=2∠MPQ时,10t=$\frac{2}{3}$(6t+60),解得t=$\frac{20}{3}$.故当射线PQ是∠MPN的奇妙线时t的值为$\frac{5}{2}$或$\frac{30}{7}$或$\frac{20}{3}$.

答案：
(1)是
(2)①当∠MPN=2∠MPQ时,10t=60+$\frac{1}{2}$×60,解得t=9;当∠QPN=2∠MPN时,10t=2×60,解得t=12;当∠QPM=2∠MPN时,10t=60+2×60,解得t=18.故当t为9或12或18时,射线PM∠QPN是的奇妙线..
②当∠MPQ=2∠QPN时,10t=$\frac{1}{3}$(6t+60),解得t=$\frac{5}{2}$;当∠MPN=2∠QPN时,10t=$\frac{1}{2}$(6t+60),解得t=$\frac{30}{7}$;当∠QPN=2∠MPQ时,10t=$\frac{2}{3}$(6t+60),解得t=$\frac{20}{3}$.故当射线PQ是∠MPN的奇妙线时t的值为$\frac{5}{2}$或$\frac{30}{7}$或$\frac{20}{3}$.