《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

1. 如图,点B,C在线段AD上,且$AB:BC:CD= 2:3:4$,点M是线段AC的中点,点N是线段CD上的一点,且$MN= 9$.
(1)若点N是线段CD的中点,求BD的长;
(2)若点N是线段CD的三等分点,求BD的长.

答案：
(1)如图①,因为点M是线段AC的中点，点N是线段CD 的中点，所以$CM=\frac{1}{2}AC$，$CN=\frac{1}{2}CD$，所以$MN=CM+CN=\frac{1}{2}(AC+CD)=\frac{1}{2}AD=9$，所以$AD=18$。因为$AB:BC:CD=2:3:4$，所以$AB=\frac{2}{2+3+4}×AD=4$，所以$BD=AD−AB=18−4=14$。
(2)因为点N是线段CD的三等分点，所以当$CN=\frac{1}{3}CD$时，如图②，因为$AB:BC:CD=2:3:4$，所以设$AB=2x$，$BC=3x$，$CD=4x$，所以$AC=5x$。因为点M是线段AC的中点，所以$CM=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}x$。因为$CN=\frac{1}{3}CD=\frac{4}{3}x$，所以$CM+CN=\frac{5}{2}x+\frac{4}{3}x=MN=9$，所以$x=\frac{54}{23}$，所以$BD=7x=\frac{378}{23}$。当$CN=\frac{2}{3}CD$时，因为$AB:BC:CD=2:3:4$，所以设$AB=2x$，$BC=3x$，$CD=4x$，所以$AC=5x$。因为点M是线段AC的中点，所以$CM=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}x$。因为$CN=\frac{2}{3}CD=\frac{8}{3}x$，所以$CM+CN=\frac{5}{2}x+\frac{8}{3}x=MN=9$，所以$x=\frac{54}{31}$，所以$BD=7x=\frac{378}{31}$。综上所述，$BD$的长为$\frac{378}{23}$或$\frac{378}{31}$。

2. 小明在学习了比较线段的长短后对下面一道题产生了探究的兴趣:
如图①,点C在线段AB上,M,N分别是AC,BC的中点.若$AB= 6,AC= 2$,求MN的长.

(1)根据题意,求得$MN= $3.
(2)小明在求解(1)的过程中,发现MN的长度具有一个特殊性质,于是他先将题中的条件一般化,并开始深入探究.设$AB= a$,C是线段AB上任意一点(不与点A,B重合),小明提出了如下三个问题,请你帮助小明解答.
①如图①,M,N分别是AC,BC的中点,则$MN= $$\frac{1}{2}a$.
②如图②,M,N分别是AC,BC的三等分点,即$AM= \frac{1}{3}AC,BN= \frac{1}{3}BC$,求MN的长.
因为$AM=\frac{1}{3}AC$，$BN=\frac{1}{3}BC$，所以$CM=\frac{2}{3}AC$，$CN=\frac{2}{3}BC$，所以$MN=CM+CN=\frac{2}{3}AC+\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}AB$。因为$AB=a$，所以$MN=\frac{2}{3}a$。
③若M,N分别是AC,BC的$n(n≥2)$等分点,即$AM= \frac{1}{n}AC,BN= \frac{1}{n}BC$,则$MN= $$\frac{n - 1}{n}a$.

答案：
(1)3　解析:因为$AB=6$，$AC=2$，所以$BC=AB−AC=4$。因为$M$，$N$分别是$AC$，$BC$的中点，所以$CM=\frac{1}{2}AC=1$，$CN=\frac{1}{2}BC=2$，所以$MN=CM+CN=3$。故答案为3。
(2)①$\frac{1}{2}a$　解析:因为$M$，$N$分别是$AC$，$BC$的中点，所以$CM=\frac{1}{2}AC$，$CN=\frac{1}{2}BC$，所以$MN=CM+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB$。因为$AB=a$，所以$MN=\frac{1}{2}a$。故答案为$\frac{1}{2}a$。
②因为$AM=\frac{1}{3}AC$，$BN=\frac{1}{3}BC$，所以$CM=\frac{2}{3}AC$，$CN=\frac{2}{3}BC$，所以$MN=CM+CN=\frac{2}{3}AC+\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}AB$。因为$AB=a$，所以$MN=\frac{2}{3}a$。
③$\frac{n - 1}{n}a$　解析:因为$AM=\frac{1}{n}AC$，$BN=\frac{1}{n}BC$，所以$CM=\frac{n - 1}{n}AC$，$CN=\frac{n - 1}{n}BC$，所以$MN=CM+CN=\frac{n - 1}{n}AC+\frac{n - 1}{n}BC=\frac{n - 1}{n}AB$。因为$AB=a$，所以$MN=\frac{n - 1}{n}a$。故答案为$\frac{n - 1}{n}a$。