《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

1. [新定义 (2024·无锡校级期中) 用“$\otimes$”定义新运算: 对于任意有理数 $m, n$, 都有 $m \otimes n= -2 m^{2}+$ $3 m+n$.
例如: $1 \otimes 2= -2 × 1^{2}+3 × 1+2= 3$. 则下列结论: (1) $2 \otimes 3= -1$; (2) $m \otimes m= -2 m^{2}+4 m$; (3)对于任意有理数 $m, n, m \otimes n= n \otimes m$ 恒成立; (4) $(m \otimes n)+2 n$ 的值恒小于 $m \otimes(n \otimes 10)$ 的值.
正确的是______②(填序号).

答案： ②

2. [新定义 (2025·盐城校级期中) 定义: 若一个多项式的各项系数之和为 7 的整数倍, 则称这个多项式为“卓越多项式”.
例如: 多项式 $20 x+8 y$ 的系数和为 $20+8= 28= 7 × 4$, 所以多项式 $20 x+8 y$ 是“卓越多项式”.
请根据这个定义解答下列问题:
(1) 在下列多项式中, 属于“卓越多项式”的是（1）（3）.(在横线上填写序号)
(1) $3 x^{2}-10 x$; (2) $2 a b+3 b$; (3) $26 x^{2}-7 y+2 x$.
(2) 若多项式 $4 m x-n y$ 是关于 $x, y$ 的“卓越多项式” (其中 $m, n$ 均为整数), 则多项式 $2 m x+3 n y$ 也是关于 $x, y$ 的“卓越多项式”吗? 若是, 请说明理由; 若不是, 请举出反例.
是。理由：设 $4m - n = 7k$（其中 $k$ 为整数），则 $n = 4m - 7k$。代入 $2m + 3n$，得 $2m + 3(4m - 7k) = 7(2m - 3k)$。因为 $2m - 3k$ 是整数，所以 $2m + 3n$ 也是7的整数倍，即多项式 $2mx + 3ny$ 是“卓越多项式”。

答案： 【解析】：
本题主要考查对新定义的理解以及多项式系数和的计算。
(1) 对于每个多项式，需要计算其各项系数之和，并判断是否为7的整数倍。
对于多项式 $3x^{2} - 10x$，系数和为 $3 + (-10) = -7$，是7的整数倍。
对于多项式 $2ab + 3b$，系数和为 $2 + 3 = 5$，不是7的整数倍。
对于多项式 $26x^{2} - 7y + 2x$，系数和为 $26 + (-7) + 2 = 21$，是7的整数倍。
因此，属于“卓越多项式”的是（1）和（3）。
(2) 对于多项式 $4mx - ny$，其系数和为 $4m + (-n) = 4m - n$。
若 $4m - n$ 是7的整数倍，设 $4m - n = 7k$（其中 $k$ 为整数）。
考虑多项式 $2mx + 3ny$，其系数和为 $2m + 3n$。
需要判断 $2m + 3n$ 是否也是7的整数倍。
由 $4m - n = 7k$，得 $n = 4m - 7k$。
代入 $2m + 3n$，得 $2m + 3(4m - 7k) = 2m + 12m - 21k = 14m - 21k = 7(2m - 3k)$。
因为 $2m - 3k$ 是整数，所以 $2m + 3n$ 也是7的整数倍。
因此，多项式 $2mx + 3ny$ 也是“卓越多项式”。
【答案】：
(1) （1）（3）
(2) 是。理由：设 $4m - n = 7k$（其中 $k$ 为整数），则 $n = 4m - 7k$。代入 $2m + 3n$，得 $2m + 3(4m - 7k) = 7(2m - 3k)$。因为 $2m - 3k$ 是整数，所以 $2m + 3n$ 也是7的整数倍，即多项式 $2mx + 3ny$ 是“卓越多项式”。

3. [新定义 (2025·常州月考) 类比同类项的概念, 我们规定: 所含字母相同, 并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于 1 的项称为“准同类项”. 例如: $a^{2} b^{3}$ 与 $3 a^{3} b^{2}$ 是“准同类项”.
(1) 下列单项式: (1) $3 a^{3} b^{4}$; (2) $-5 a^{3} b^{3}$; (3) $2 a b^{4}$.
其中与 $a^{3} b^{4}$ 是“准同类项”的是①②(填序号).
(2) 已知 $A, B, C$ 均为关于 $a, b$ 的多项式, $A= a^{3} b^{4}+3 a^{2} b^{3}+(n-2) a b^{2}, B= -2 a b^{2}+3 a b^{n}-a^{3} b^{4}, C= A+$ $B$. 若 $C$ 的任意两项都是“准同类项”, 求正整数 $n$ 的值.
2或3或4

答案：
(1)①② 解析:根据"准同类项"定义可知,与$a^{3}b^{4}$是"准同类项"的是$3a^{3}b^{4}$,$-5a^{3}b^{3}$;对于$2ab^{3}$,字母a指数之差的绝对值|3-1|=2,不符合"准同类项"定义.
(2)$A=a^{3}b^{4}+3a^{2}b^{3}+(n-2)ab^{2}$,$B=-2ab^{2}+3ab^{n}-a^{3}b^{4}$,则$C=A+B=a^{3}b^{4}+3a^{2}b^{3}+(n-2)ab^{2}+(-2ab^{2}+3ab^{n}-a^{3}b^{4})=3a^{2}b^{3}+(n-4)ab^{2}+3ab^{n}$.当n=4时,$C=3a^{2}b^{3}+3ab^{4}$,其中$3a^{2}b^{3}$和$3ab^{4}$是"准同类项",满足条件;当n≠4时,由"准同类项"定义可知,$3a^{2}b^{3}$与$(n-4)ab^{2}$是"准同类项";若$3a^{2}b^{3}$与$3ab^{n}$是"准同类项",则|n-3|小于或等于1;若$(n-4)ab^{2}$与$3ab^{n}$是"准同类项",则|n-2|小于或等于1,所以正整数n的值为2或3或4.