《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

3. (2025·常州校级月考) 如图,数轴上点 $ A,B $ 分别表示数 $ -6,2 $.
(1) 填空:$ A,B $ 两点之间的距离为8.
(2) 若点 $ C $ 从点 $ A $ 出发,以每秒 $ 4 $ 个单位长度的速度沿数轴向右移动,同时点 $ D $ 从点 $ B $ 出发,以每秒 $ 2 $ 个单位长度的速度向右移动,设移动的时间为 $ t(t ＞ 0) $ 秒.
① 移动中,点 $ C $ 表示的数是$-6+4t$,点 $ D $ 表示的数是$2+2t$,点 $ C,D $ 之间的距离 $ |CD| = $$|2t-8|$;(用含有 $ t $ 的式子表示)
② 移动中,若点 $ C,D $ 之间相距 $ 4 $ 个单位长度,求 $ t $ 的值;根据题意，可得$|2t - 8| = 4$，所以$2t - 8 = ±4$，所以$t = 6$或$t = 2$。
③ 在点 $ C,D $ 出发的同时,点 $ P $ 从点 $ O $ 出发,以每秒 $ 1 $ 个单位长度的速度沿数轴向右移动,在三个点移动的过程中,$ |CD| + 2|DP| $ 或 $ |CD| - 2|DP| $ 在某种条件下是否会为定值? 请分析并说明理由.由题意可知，在点 C,D 出发的同时，点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿数轴向右移动，则点 P 表示的数是 t，所以$|DP| = |2 + 2t - t| = |t + 2|$，$|CD| + 2|DP| = |2t - 8| + 2|t + 2|$，$|CD| - 2|DP| = |2t - 8| - 2|t + 2|$。因为当$t＞0$时，$|t + 2| = t + 2$，当$0＜t\leqslant 4$时，$|2t - 8| = 8 - 2t$；当$t＞4$时，$|2t - 8| = 2t - 8$，所以当$0＜t\leqslant 4$时，$|CD| + 2|DP| = |2t - 8| + 2|t + 2| = 8 - 2t + 2t + 4 = 12$，为定值，当$t＞4$时，$|CD| - 2|DP| = |2t - 8| - 2|t + 2| = 2t - 8 - 2t - 4 = -12$，为定值。综上所述，当$0＜t\leqslant 4$时，$|CD| + 2|DP|$为定值；当$t＞4$时，$|CD| - 2|DP|$为定值。

答案： 3.
(1)8
(2)①$-6+4t$ $2+2t$ $|2t-8|$ 解析:根据题意,点 C 从点 A 出发,以每秒 4 个单位长度的速度沿数轴向右移动,故点 C 表示的数是 $-6+4t$,点 D 从点 B 出发,以每秒 2 个单位长度的速度向右移动,故点 D 表示的数是 $2+2t$,点 C,D 之间的距离 $|CD|=|-6+4t-(2+2t)|=|2t-8|$.故答案为 $-6+4t;2+2t;|2t-8|$.
②根据题意,可得 $|2t-8|=4$,所以 $2t-8=\pm 4$,所以 $t=6$ 或 $t=2$.
③由题意可知,在点 C,D 出发的同时,点 P 从点 O 出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿数轴向右移动,则点 P 表示的数是 t,所以 $|DP|=|2+2t-t|=|t+2|$,$|CD|+2|DP|=|2t-8|+2|t+2|$,$|CD|-2|DP|=|2t-8|-2|t+2|$.因为当 $t＞0$ 时,$|t+2|=t+2$,当 $0＜t\leqslant 4$ 时,$|2t-8|=8-2t$;当 $t＞4$ 时,$|2t-8|=2t-8$,所以当 $0＜t\leqslant 4$ 时,$|CD|+2|DP|=|2t-8|+2|t+2|=8-2t+2t+4=12$,为定值,当 $t＞4$ 时,$|CD|-2|DP|=|2t-8|-2|t+2|=2t-8-2t-4=-12$,为定值.综上所述,当 $0＜t\leqslant 4$ 时,$|CD|+2|DP|$ 为定值;当 $t＞4$ 时,$|CD|-2|DP|$ 为定值.

4. 数轴上两个点 $ A,B $ 所对应的数分别为 $ -8,4 $,$ A,B $ 两点各自以一定的速度同时运动,且点 $ A $ 的运动速度为 $ 2 $ 个单位长度/秒.
(1) 若 $ A,B $ 两点相向而行,在原点处相遇,求点 $ B $ 的运动速度.
(2) 若 $ A,B $ 两点从开始位置上同时按照 (1) 中的速度向数轴正方向运动,多少秒时,$ A,B $ 两点到原点的距离相等?
(3) $ A,B $ 两点以 (1) 中的速度同时出发,向数轴负方向运动,与此同时,点 $ C $ 从原点出发也向数轴负方向运动,且点 $ C $ 总在 $ A,B $ 两点之间,并在运动过程中始终有 $ \frac{BC}{AC}= \frac{1}{2} $($ BC $ 表示点 $ C $ 到点 $ B $ 的距离),设运动 $ t $ 秒后,点 $ A,B,C $ 分别运动到点 $ A_1,B_1,C_1 $,试说明 $ \frac{CC_1}{AA_1} $ 的值不变.

答案： 4.
(1)A,B 两点同时运动,相向而行,所以它们的运动时间相等.相遇时,点 A 运动了 $8÷2=4$(秒),所以点 B 的运动速度为 $4÷4=1$(个)单位长度/秒.
(2)设 t 秒后,A,B 到原点的距离相等.因为 $OA+OB=8+4=12＞6$,且点 A 的运动速度大于点 B 的运动速度,所以分两种情况.①当点 B 在点 A 的右侧时,$8-2t=4+t$,解得 $t=\frac{4}{3}$.②当点 A 与点 B 重合时,$-8+2t=4+t$,解得 $t=12$.综合①②得,$\frac{4}{3}$ 秒和 12 秒时,A,B 两点到原点的距离相等.
(3)设点 C 的运动速度为 x 个单位长度/秒,运动时间为 t 秒.根据题意得 $8+(2-x)×t=[4+(x-1)×t]×2$,整理得 $2-x=2x-2$,解得 $x=\frac{4}{3}$.故点 C 的运动速度为 $\frac{4}{3}$ 个单位长度/秒,所以 $CC_1=\frac{4}{3}t$.因为点 A 的运动速度为 2 个单位长度/秒,所以 $AA_1=2t$,所以 $\frac{CC_1}{AA_1}=\frac{\frac{4}{3}t}{2t}=\frac{2}{3}$,所以 $\frac{CC_1}{AA_1}$ 的值不变.