《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

1. (2024·南京期中)如图①,直线$AB与直线CD$,$EF分别交于点G$,$H$,三条直线把平面分成①,②,…$$,⑥六个区域。规定：三条直线上的点不属于任何一个区域。当任意一点$P$落在某个区域时,连接$PG$,$PH$,可得到$\angle PGD$,$\angle PHF$,$\angle GPH$。
(1)如图②,当动点$P$落在区域④时,如果$\angle GPH= \angle PGD+\angle PHF$,那么$CD与EF$平行吗？请说明理由。
(2)如图③,当动点$P$落在区域③时,$\angle PGD$,$\angle PHF$,$\angle GPH$三角满足什么等量关系时,$CD// EF$？请说明理由。
(3)如果直线$CD// EF$,试探究动点$P$落在____区域时,存在$\angle GPH= \angle PHF-\angle PGD$。

答案：
1.
(1)CD//EF,理由:如图①,过点P作PI//CD,所以∠GPI=∠PGD.因为∠GPH=∠PGD+∠PHF,所以∠PHF=∠GPH - ∠PGD.因为∠IPH=∠GPH - ∠GPI=∠GPH - ∠PGD ，所以∠IPH=∠PHF,所以IP//EF;因为PI//CD,所以CD//EF.
　　
(2)∠GPH+∠PGD+∠PHF=360°时,有CD//EF,理由如下:如图②,过点P作PI//CD,所以∠GPI+∠PGD=180°,即∠GPI=180° - ∠PGD.因为IP//EF,所以∠HPI+∠PHF=180°,即∠HPI=180° - ∠PHF.因为∠GPH+∠PGD+∠PHF=∠GPI+∠HPI+∠PGD+∠PHF=180° - ∠PGD+180° - ∠PHF+∠PGD+∠PHF=360°,所以当动点P落在区域③时,∠PGD,∠PHF,∠GPH三角满足∠GPH+∠PGD+∠PHF=360°时,有CD//EF.
(3)②、⑤　解析:如图③,当点P在①区域时,过点P作PI//CD,PH交CD于点J,因为CD//EF,所以PI//EF,∠PHF=∠HPI,∠PGD=∠GPI,所以∠GPH=∠GPI - ∠HPI=∠PGD - ∠PHF,即∠GPH=∠PGD - ∠PHF,即点P在①区域时不符合题意;同理,可判定点P在⑤区域时有∠GPH=∠PHF - ∠PGD,符合题意;
　　　 　　　
如图④,当点P在②区域时,过点P作PI//CD,PH交CD于点J,因为CD//EF,所以PI//EF,∠PHF=∠HPI,∠PGD=∠GPI,所以∠GPH=∠HPI - ∠GPI=∠PHF - ∠PGD,即∠GPH=∠PHF - ∠PGD,即点P在②区域时符合题意;同理,可判定点P在⑥区域时∠GPH=∠PGD - ∠PHF,不符合题意;由
(1)、
(2)易得,点P在④区域时,∠GPH=∠PHF+∠PGD;点P在③区域时,∠GPH=360° - ∠PHF - ∠PGD,均不符合题意.综上,点P在②、⑤区域时存在∠GPH=∠PHF - ∠PGD.