《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

1. 观察下列等式:
① $ 1 ^ { 3 } = 1 ^ { 2 } $
② $ 1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } = 3 ^ { 2 } $
③ $ 1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } + 3 ^ { 3 } = 6 ^ { 2 } $
④ $ 1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } + 3 ^ { 3 } + 4 ^ { 3 } = 10 ^ { 2 } $
……
根据此规律,第 10 个等式的右边应该是 $ a ^ { 2 } $,则 $ a $ 的值是 (C)
A.45
B.54
C.55
D.65

答案： 【解析】：
通过观察给定的等式，我们可以发现等式左边是连续自然数的立方和，右边是一个自然数的平方。
我们需要找出这个自然数与左边立方和中的最大自然数之间的关系。
通过观察，我们可以发现右边平方的底数实际上是左边立方和中的最大自然数与其前一个自然数的和的序列，即：
①中底数为1；
②中为$1+2=3$；
③中为$1+2+3=6$；
④中为$1+2+3+4=10$，
根据这个规律，我们可以推断出第n个等式的右边应该是$(1+2+...+n)^2$，即$(\frac{n(n+1)}{2})^2$。
因此，第10个等式的右边应该是$(\frac{10(10+1)}{2})^2=55^2$，
所以$a=55$。
【答案】：C.55。

2. 请你先计算 $ 0.1 ^ { 3 } $, $ 1 ^ { 3 } $, $ 10 ^ { 3 } $, $ 100 ^ { 3 } $,然后根据发现的规律解决问题:已知 $ 9.9 ^ { 3 } = 970.299 $,则 $ 990 ^ { 3 } = $____.(用科学记数法表示)
9.70299×10^8

答案： 【解析】：
首先，我们计算各个数的三次方：
$0.1^3 = 0.001，$
$1^3 = 1，$
$10^3 = 1000，$
$100^3 = 1000000，$
通过观察，我们可以发现，当底数从0.1逐渐增大到100时（每次乘以10），其三次方的结果会在原数的基础上增加3个数量级（即每次乘以1000）。
具体来说，0.1的三次方是0.001（即0.1 × 0.1 × 0.1），而1（即0.1 × 10）的三次方是1（即0.001 × 1000），以此类推。
已知$9.9^3 = 970.299，$要求$990^3。$
注意到990是9.9乘以100得到的，因此，根据我们之前发现的规律，$990^3$应该是$9.9^3$乘以1000000（即$100^3）$再除以1000（因为我们从9.9到990是放大了100倍，但三次方后会放大$100^3=1000000$倍，而我们只需要放大100倍的效果在三次方上，所以要除以一个1000来“校正”这个过度放大，但实际上由于我们是从9.9的三次方出发，所以直接乘以$100^3$对应的数量级$10^6$即可，这里除以1000是为了解释规律，实际计算中不这么做）。
然而，更简洁的方法是直接利用科学记数法：
$990 = 9.9 × 10^2，$
所以，$990^3 = (9.9 × 10^2)^3 = ```python$
from sympy import *
value = (9.9 * 102)3
scientific_notation = '{:.2e}'.format(value)
print(scientific_notation)
```

3. 观察下面三行数:
$ 1, - 2, 4, - 8, 16, - 32, 64, … $; ①
$ 3, 0, 6, - 6, 18, - 30, 66, … $; ②
$ 0, 3, - 3, 9, - 15, 33, - 63, … $. ③
(1)第①行数的第 $ n ( n \geq 2 ) $ 个数是$(-1)^{n+1}×2^{n-1}$.
(2)请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数,并找出规律,根据你得到的结论,直接写出第②行数的第 $ n ( n \geq 2 ) $ 个数是$(-1)^{n+1}×2^{n-1}+2$;同理直接写出第③行数的第 $ n ( n \geq 2 ) $ 个数是$1-(-1)^{n+1}×2^{n-1}$.
(3)取每行的第 $ k $ 个数,这三个数的和能否等于 $ - 509 $? 如果能,请求出 $ k $ 的值;如果不能,请说明理由.
取每行的第 k 个数，这三个数的和能等于-509，k的值为10。

答案： 3.
(1)$(-1)^{n+1}×2^{n-1}$
(2)$(-1)^{n+1}×2^{n-1}+2$ $1-(-1)^{n+1}×2^{n-1}$ 解析:由题中的数据可得,第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数的差都是 2,则第 ②行数的第 n（n≥2）个数是$(-1)^{n+1}×2^{n-1}+2$,第③行数中的每一个数分别加上第①行数中对应位置的数的和都是1,则第③行数的第n（n≥2）个数是$1-(-1)^{n+1}×2^{n-1}.$
(3)取每行的第 k 个数,这三个数的和能等于-509,令$(-1)^{k+1}×2^{k-1}+2+(-1)^{k+1}×2^{k-1}+1-(-1)^{k+1}×2^{k-1}=-509$,得 k=10,即取每行的第 10 个数,这三个数的和能等于-509.