《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

1. 求$\vert x - 4\vert+\vert x + 2\vert$的最小值.

答案： 由绝对值的几何意义可知|x-4|+|x+2|表示数轴上表示数x的点到表示4与-2的两点的距离和,根据数轴可得当$-2\leqslant x\leqslant 4$时,$|x-4|+|x+2|$有最小值,最小值为6.

2. 求$\vert x - 3\vert+\vert x - 2\vert+\vert x + 1\vert$的最小值.

答案： 由绝对值的几何意义可知|x-3|+|x-2|+|x+1|表示数轴上表示数x的点到表示3,2,-1的点的距离之和,根据数轴可得当$x=2$时,$|x-3|+|x-2|+|x+1|$有最小值为4.

3. (1)若$\vert x - 3\vert+\vert x - 2\vert+\vert x\vert+\vert x + 1\vert\geq a对任意有理数x$都成立,则$a$的最大值为6.
(2)求$\vert x - 1\vert+\vert x - 2\vert+…+\vert x - 101\vert$的最小值.
$|x-1|+|x-2|+\cdots +|x-101|$可以看成是表示数x的点到各点的距离之和.在奇数个绝对值相加时,要想和为最小值,x取使最中间一项为0的值.因为$|x-1|+|x-2|+\cdots +|x-101|$最中间一项是$|x-51|$,所以$|x-51|=0$,即$x=51$.当$x=51$时,$|x-1|+|x-2|+\cdots +|x-101|=50+49+\cdots +0+1+2+\cdots +50=[(1+50)× 50]÷ 2× 2=2550$,故$|x-1|+|x-2|+\cdots +|x-101|$的最小值为2550.

答案：
(1)6
(2)$|x-1|+|x-2|+\cdots +|x-101|$可以看成是表示数x的点到各点的距离之和.在奇数个绝对值相加时,要想和为最小值,x取使最中间一项为0的值.因为$|x-1|+|x-2|+\cdots +|x-101|$最中间一项是$|x-51|$,所以$|x-51|=0$,即$x=51$.当$x=51$时,$|x-1|+|x-2|+\cdots +|x-101|=50+49+\cdots +0+1+2+\cdots +50=[(1+50)× 50]÷ 2× 2=2550$,故$|x-1|+|x-2|+\cdots +|x-101|$的最小值为2550.