《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

1. 高斯上小学时,有一次数学老师让同学们计算“从 1 到 100 这 100 个正整数的和”.许多同学都采用了依次累加的计算方法,计算起来非常繁琐,且易出错.聪明的小高斯经过探索后,给出了下面漂亮的解答过程.
解:设 $ S = 1 + 2 + 3 + … + 100 $ ①,
则 $ S = 100 + 99 + 98 + … + 1 $ ②,
①+②,得(即左、右两边分别相加) $ 2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + … + (100 + 1) = \underbrace{101 + 101 + … + 101}_{100个} = 100 × 101 $,所以 $ S = \frac{100 × 101}{2} $ ③,所以 $ 1 + 2 + 3 + … + 100 = 5050 $.
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”.请你利用“倒序相加法”解答下面的问题.
(1)计算:$ 1 + 2 + 3 + … + 101 $;
解:设S=1+2+3+…+101 ①,则S=101+100+…+3+2+1 ②,①+②,得2S=102+102+102+…+102=101×102,所以S= $\frac{101×102}{2}$=5151,即1+2+3+…+101=5151.
(2)请你观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现的类似③式,猜想:$ 1 + 2 + 3 + … + n = $______;
$\frac{n(n+1)}{2}$
(3)至少用两种方法计算:$ 1001 + 1002 + … + 2000 $.
方法一:1001+1002+…+2000=(1+2+3+…+2000)-(1+2+3+…+1000)= $\frac{2000×(2000+1)}{2}$-$\frac{1000×(1000+1)}{2}$=2001000-500500=1500500.
方法二:设S=1001+1002+…+2000,则S=2000+1999+…+1001,两式相加得2S=1000×3001,则S= $\frac{1000×3001}{2}$=1500500,即1001+1002+…+2000=1500500.

答案： 1.（1）设S=1+2+3+…+101 ①,则S=101+100+…+3+2+1 ②,①+②,得2S=102+102+102+…+102=101×102,所以S= $\frac{101×102}{2}$=5151,即1+2+3+…+101=5151.
（2）$\frac{n(n+1)}{2}$
（3）方法一:1001+1002+…+2000=(1+2+3+…+2000)-(1+2+3+…+1000)= $\frac{2000×(2000+1)}{2}$-$\frac{1000×(1000+1)}{2}$=2001000-500500=1500500.
方法二:设S=1001+1002+…+2000,则S=2000+1999+…+1001,两式相加得2S=1000×3001,则S= $\frac{1000×3001}{2}$=1500500,即1001+1002+…+2000=1500500.

2. 计算:
(1)$ \frac{1}{1000} + \frac{2}{1000} + \frac{3}{1000} + … + \frac{1999}{1000} $; (2)$ \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) + (\frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{3}{4}) + … + (\frac{1}{50} + \frac{2}{50} + \frac{3}{50} + … + \frac{49}{50}) $.

答案： 2.（1）设A= $\frac{1}{1000}$+$\frac{2}{1000}$+$\frac{3}{1000}$+…+$\frac{1999}{1000}$,B= $\frac{1999}{1000}$+$\frac{1998}{1000}$+$\frac{1997}{1000}$+…+$\frac{1}{1000}$,则A=B,A+B=2A=($\frac{1}{1000}$+$\frac{1999}{1000}$)+($\frac{2}{1000}$+$\frac{1998}{1000}$)+…+($\frac{1999}{1000}$+$\frac{1}{1000}$)=2×1999=3998,所以A=1999.
（2）设S= $\frac{1}{2}$+($\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$)+($\frac{1}{4}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{3}{4}$)+($\frac{1}{5}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{3}{5}$+$\frac{4}{5}$)+…+($\frac{1}{50}$+$\frac{2}{50}$+…+$\frac{48}{50}$+$\frac{49}{50}$),则有S= $\frac{1}{2}$+($\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$)+($\frac{3}{4}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{1}{4}$)+($\frac{4}{5}$+$\frac{3}{5}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{1}{5}$)+…+($\frac{49}{50}$+$\frac{48}{50}$+…+$\frac{2}{50}$+$\frac{1}{50}$),两式相加得2S= $\frac{1}{2}$+($\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$)+($\frac{1}{4}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{3}{4}$)+($\frac{1}{5}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{3}{5}$+$\frac{4}{5}$)+…+($\frac{1}{50}$+$\frac{2}{50}$+…+$\frac{48}{50}$+$\frac{49}{50}$)+ $\frac{1}{2}$+($\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$)+($\frac{3}{4}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{1}{4}$)+($\frac{4}{5}$+$\frac{3}{5}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{1}{5}$)+…+($\frac{49}{50}$+$\frac{48}{50}$+…+$\frac{2}{50}$+$\frac{1}{50}$),即2S=1+2+3+…+49=1225,故原式= $\frac{1225}{2}$.