《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

1. (2025·北京期中)$A,B,C,D,E$是圆上的5个点,在这些点之间连接线段,规则如下:
①任意两点之间至多有一条线段;②任意三点之间至多有两条线段.
如图.已连接线段$AB,BC,CD,DE$.
(1)若想增加一条新的线段,共有3种连线方式;
(2)至多可以增加2条线段.

答案： 1.
(1)3　解析:因为A,B两点之间已有一条线段,A,B,C之间已有两条线段，所以A,C不可以连接，A可与D,E各连接一条线段;因为B,C,D之间已有两条线段，所以B还可以与E 连接一条线段;因为C,D,E之间已有两条线段,所以C不能再与其他点连接;而D与E已连接,所以D也不可再连接;E 为最后一个点，也没有可连接的点.综上,共2+1=3(种)连接方式
(2)2　解析:①若连接AD,则A,D,E之间已有两条线段,A,E 不可再连接,B,E可以连接,所以可以连接AD,BE,共2条;②若连接AE,则A,D,E之间已有两条线段,所以A,D不可再连接,又因为A,B,E之间已有两条线段,所以B,E不可再连接,只可以连接AE,共1条;③若连接BE,则同①还可以连接AD,则A,E不可连接,所以可以连接AD,BE，共2条.综上所述,最多可以增加2条线段

2. 原创题 平面上有$n条直线l_{1},l_{2},l_{3},…,l_{n}$,其中任意两条直线均相交且任意三条直线不交于一点.
(1)共有____个交点.(用含$n$的代数式表示)
(2)若点$A$所在的两条直线上,两侧均有其他交点,则称点$A$为“内点”,否则称为“外点”.
例如,图①中,$n = 3$,3个交点均为“外点”;
图②中,$n = 4,A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5}$都是“外点”,因为$A_{6}在l_{1},l_{4}$上,在$l_{1}$上,$A_{6}两侧分别有点A_{2},A_{3}$,在$l_{4}$上,$A_{6}两侧分别有点A_{4},A_{5}$,所以$A_{6}$是“内点”;$A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5}$都是“外点”.
①$n = 5$时,画出2种“内点”数量不同的图形,并说明分别有几个“内点”;
②$n = 7$时,最多有____个“内点”,画出对应的图形.

答案：
2.
(1)$\frac{n(n-1)}{2}$ 解析:n条直线，每条直线均与其他(n-1)条直线相交,每个交点均计算两次,故共有$\frac{n(n-1)}{2}$个交点.
(2)①如图,图①共有5个“内点”,图②共有4个“内点”,图③共有3个“内点”
(答案不唯一，任选两种即可)
　　　　
②14　如图④.　解析:由
(1)知,7条直线共有$\frac{7×(7-1)}{2}=21$(个)交点,为使“内点”尽量多,就要使“外点”尽量少.由定义知，一条直线上至少有2个“外点”,每个“外点”都在两条直线上，故7条直线至少共有$\frac{7×2}{2}=7$(个)“外点”,所以至多有21-7=14(个)“内点”.经画图验证,如图④,存在14个“内点”的情况(图不唯一，合理即可).