《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

7. 一个纯循环小数 0.714 285 714 285 ,请问这个数小数点后第 100 位上的数字是______2.

答案： 7. 2 解析:因为纯循环小数0.714 285 714 285…的循环节是714285,共6个数,所以100÷6=16……4,即这个数小数点后第100位上的数字是2.

8. 已知 $ a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},…,a_{502} $ 是一列数,$ a_{2}= -4 $,$ a_{6}= m + 1 $,任意三个相邻的数之和为 $ m $,则 $ a_{502}= $3.

答案： 8. 3 解析:因为任意三个相邻的数之和为m,所以a₁+a₂+a₃=a₂+a₃+a₄=m,a₂+a₃+a₄=a₃+a₄+a₅=m,a₃+a₄+a₅=a₄+a₅+a₆=m,所以a₁=a₄,a₂=a₅=-4,a₃=a₆=m+1,所以a₁+a₂+a₃=a₁-4+m+1=m,解得a₁=3,所以这列数是以3,-4,m+1为循环的数列.因为502÷3=167……1,所以a₅₀₂=a₁=3.

9. 观察下列各式：
$ 1^{3}+2^{3}= 9= \frac{1}{4}×4×9= \frac{1}{4}×2^{2}×3^{2} ；$
$ 1^{3}+2^{3}+3^{3}= 36= \frac{1}{4}×9×16= \frac{1}{4}×3^{2}×4^{2} ；$
$ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}= 100= \frac{1}{4}×16×25= \frac{1}{4}×4^{2}×5^{2} ；$
……(1)计算： 1³+2³+3³+4³+5³= 225；(2)计算： 1³+2³+3³+4³+…+10³= 3025；(3)猜想： 1³+2³+3³+4³+…+n³= $\frac{1}{4}×n²×(n+1)²$.(只需写出结果,不必写中间的过程)

答案： 9.
(1)225 解析:1³+2³=$\frac{1}{4}×2²×3²$;1³+2³+3³=$\frac{1}{4}×3²×4²$;1³+2³+3³+4³=$\frac{1}{4}×4²×5²$;…;以此类推,可知1³+2³+3³+4³+…+n³=$\frac{1}{4}×n²×(n+1)²$,所以1³+2³+3³+4³+5³=$\frac{1}{4}×5²×6²$=225.
(2)3 025 解析:由
(1)可知1³+2³+3³+4³+…+10³=$\frac{1}{4}×10²×11²$=3 025.
(3)$\frac{1}{4}×n²×(n+1)²$ 解析:由
(1)可知1³+2³+3³+4³+…+n³=$\frac{1}{4}×n²×(n+1)²$.

10. 阅读下面计算 $ \frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{9×11} $ 的过程,然后回答问题.
解：因为 $ \frac{1}{1×3}= \frac{1}{2}×(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}) $,$ \frac{1}{3×5}= \frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}) $,…$$,$ \frac{1}{9×11}= \frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11}) $,
所以 $ \frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{9×11}= \frac{1}{2}×(\frac{1}{1}-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+…+\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11}) $
$ =\frac{1}{2}×(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{9}-\frac{1}{11})= \frac{1}{2}×(\frac{1}{1}-\frac{1}{11})= \frac{5}{11} $.
以上方法为裂项求和法,请类比完成：
(1)$ \frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{18×20}= $______$\frac{9}{40}$；
(2)在和式 $ \frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+(\quad)= \frac{6}{13} $ 中最末一项为______$\frac{1}{11×13}$；
(3)已知 $ -3x^{2}y^{a + 1}+x^{3}y-3x^{4}-2 $ 是五次四项式,单项式 $ -3x^{3b}y^{3 - a} $ 与多项式的次数相同,求 $ \frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}+\frac{1}{6×7}+\frac{1}{7×8}+\frac{1}{8×9}-\frac{2}{b} $ 的值.
因为$-3x²y^{a+1}+x³y-3x⁴-2$是五次四项式,所以2+a+1=5,则a=2.又因为单项式$-3x^{3b}y^{3 - a}$与多项式的次数相同,所以3b+3 - a=5,则b=$\frac{4}{3}$.原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$-2×$\frac{3}{4}$=1-$\frac{1}{9}$-$\frac{3}{2}$=-$\frac{11}{18}$.

答案： 10.
(1)$\frac{9}{40}$
(2)$\frac{1}{11×13}$
(3)因为$-3x²y^{a+1}+x³y-3x⁴-2$是五次四项式,所以2+a+1=5,则a=2.又因为单项式$-3x^{3b}y^{3 - a}$与多项式的次数相同,所以3b+3 - a=5,则b=$\frac{4}{3}$.原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$-2×$\frac{3}{4}$=1-$\frac{1}{9}$-$\frac{3}{2}$=-$\frac{11}{18}$.