《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

2. (2025·连云港期末)【习题再现】
(1)苏科版初中数学教材七上第192页第10题：如图①,AB//CD,点E在AB,CD之间。写出∠AEC,∠A,∠C之间的数量关系,并说明理由；
【迁移思考】
(2)小明在完成第10题的探究后,对该页的第5题又作了探究与变式思考：
①如图②,在长方体盒子底部有一面平面镜,点A处有一个光源,光线的入射角等于反射角,法线OE与平面镜l垂直,即OE⊥BC,垂足为O,入射光线经过镜面反射后,恰好经过点D。小明认为∠AOB = ∠COD,请帮小明说明理由；
②如图③,在长方体盒子里放置4块平面镜AB,BC,CD,DA,其中AD//CB,若光线从AD上的E处射出,在平面镜AB上经点F反射后,到达BC上的点G……其传播路径为E→F→G→H→E→F……请判断∠EFG与∠GHE的数量关系,并说明理由。

答案：
2.
(1)∠AEC=∠A+∠C,理由如下:过点E作EM//AB,如图所示:
　　　　　　　
因为AB//CD,所以AB//EM//CD,所以∠AEM=∠A,∠CEM=∠C,所以∠AEM+∠CEM=∠A+∠C.因为∠AEC=∠AEM+∠CEM,所以∠AEC=∠A+∠C.
(2)①理由如下:因为OE⊥BC,所以∠EOC=∠EOB=90°,所以∠AOE+∠AOB=∠DOE+∠COD=90°.因为光线的入射角等于反射角,所以∠AOE=∠DOE,所以∠AOB=∠COD.
②∠EFG=∠GHE,理由如下:由①的结论得∠AEF=∠DEH,∠BGF=∠CGH,所以∠AEF+∠BGF=∠DEH+∠CGH.因为AD//CB,由
(1)的结论得∠EFG=∠AEF+∠BGF,∠GHE=∠DEH+∠CGH,所以∠EFG=∠GHE.

3. (2024·宿迁期末)如图,已知点P在AB,CD两线之间,且在BC所在直线的左侧。
(1)如图①,当AB//CD,∠BPC = α时,
①若BO平分∠ABP,CO平分∠DCP,则∠BOC = ______；
②若∠ABO = $\frac{1}{3}$∠ABP,∠DCO = $\frac{1}{3}$∠DCP,则∠BOC = ______；
③若∠ABO = $\frac{1}{n}$∠ABP,∠DCO = $\frac{1}{n}$∠DCP,则∠BOC = ______。
(2)如图②,当AB与CD相交,点A,D重合时,猜想∠BPC,∠B,∠C与∠A之间的数量关系,并说明理由。
(3)如图③,直接运用(2)的结论探究下列问题：
①若BO平分∠ABP,CO平分∠ACP,当∠BPC = 120°,∠BOC = 95°时,求∠A的度数；
②若∠ABO = $\frac{1}{n}$∠ABP,∠ACO = $\frac{1}{n}$∠ACP,当∠BPC = α,∠BOC = β时,求∠A的度数。

答案：
3.
(1)①$\frac{\alpha}{2}$ ②$\frac{\alpha}{3}$ ③$\frac{\alpha}{n}$ 解析:①如图①,分别过点O,P作OE//AB,PQ//AB,因为AB//CD,所以OE//PQ//AB//CD,所以∠ABP=∠BPQ,∠DCP=∠CPQ,∠ABO=∠BOE,∠DCO=∠COE,所以∠ABP+∠DCP=∠BPC,∠ABO+∠DCO=∠BOC.因为∠BPC=α,BO平分∠ABP,CO平分∠DCP,所以∠ABO=∠PBO=$\frac{1}{2}$∠ABP,∠DCO=∠PCO=$\frac{1}{2}$∠DCP,所以∠BOC=$\frac{1}{2}$∠ABP+$\frac{1}{2}$∠DCP=$\frac{1}{2}$(∠ABP+∠DCP)=$\frac{\alpha}{2}$.
②由①得∠ABP+∠DCP=∠BPC,∠ABO+∠DCO=∠BOC,因为∠ABO=$\frac{1}{3}$∠ABP,∠DCO=$\frac{1}{3}$∠DCP,所以∠BOC=$\frac{1}{3}$∠ABP+$\frac{1}{3}$∠DCP=$\frac{1}{3}$(∠ABP+∠DCP)=$\frac{\alpha}{3}$.
③由①得∠ABP+∠DCP=∠BPC,∠ABO+∠DCO=∠BOC,因为∠ABO=$\frac{1}{n}$∠ABP,∠DCO=$\frac{1}{n}$∠DCP,所以∠BOC=$\frac{1}{n}$∠ABP+$\frac{1}{n}$∠DCP=$\frac{1}{n}$(∠ABP+∠DCP)=$\frac{\alpha}{n}$.
　　　 　　　
(2)∠A+∠B+∠C=∠BPC,理由如下:如图②,作射线BF,分别过点P,A,C作PQ//BF,AG//BF,CE//BF,则PQ//BF//AG//CE,所以∠ABF=∠BAG,∠ACE=∠CAG,∠PBF=∠BPQ,∠PCE=∠CPQ,所以∠BPC=∠PBF+∠PCE.因为∠PBF=∠ABF+∠ABP,∠PCE=∠ACE+∠ACP,所以∠BPC=∠ABF+∠ABP+∠ACE+∠ACP=∠BAC+∠ABP+∠ACP,即原图中∠A+∠B+∠C=∠BPC.
(3)①由
(2)可得∠A+∠ABP+∠ACP=∠BPC=120°,∠A+∠ABO+∠ACO=∠BOC=95°,因为BO平分∠ABP,CO平分∠ACP,所以∠ABO=∠OBP=$\frac{1}{2}$∠ABP,∠ACO=∠OCP=$\frac{1}{2}$∠ACP,所以∠A+$\frac{1}{2}$(∠ABP+∠ACP)=∠BOC=95°.因为∠A+∠ABP+∠ACP−(∠A+∠ABO+∠ACO)=∠BPC−∠BOC=25°,即$\frac{1}{2}$(∠ABP+∠ACP)=25°,所以∠ABP+∠ACP=50°,所以∠A=∠BPC−(∠ABP+∠ACP)=70°.
②因为∠ABO=$\frac{1}{n}$∠ABP,∠ACO=$\frac{1}{n}$∠ACP,所以∠A+∠ABP+∠ACP=∠BPC=α,∠A+∠ABO+∠ACO=∠BOC=β,所以∠A+$\frac{1}{n}$(∠ABP+∠ACP)=∠BOC=β,由①得∠BPC−∠BOC=α−β,所以$\frac{n−1}{n}$(∠ABP+∠ACP)=α−β,即∠ABP+∠ACP=$\frac{n}{n−1}$(α−β),所以∠A=∠BPC−(∠ABP+∠ACP)=α−$\frac{n}{n−1}$(α−β)=$\frac{n}{n−1}$β−$\frac{1}{n−1}$α.