《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

1. (2025·连云港期末)如图,直线$l_{1}// l_{2}$,把一块含$30^{\circ }$的三角板按如图位置摆放,直边 BC 与直线$l_{2}$重合,斜边与直线$l_{1}和直线l_{2}$分别交于点 A,B.P,Q 分别是直线$l_{1}和直线l_{2}$上两点.连接PQ,作射线 BP.
(1)若$∠BAP= ∠BQP$,判断 AB 与 PQ 是否平行,并说明理由;
(2)若射线 BP 平分$∠ABQ$,求$∠1$的度数.

答案： 1.
(1)AB与PQ平行,理由:因为l₁//l₂,所以∠BAP=∠ABC.因为∠BAP=∠BQP,所以∠ABC=∠BQP,所以AB//PQ.
(2)由三角板可知,∠ABC=60°,所以∠ABQ=120°.因为BP平分∠ABQ,所以∠PBQ=1/2∠ABQ=60°.因为l₁//l₂,所以∠1=∠PBQ=60°.

2. (2025·苏州期末)如图,已知$∠ABC$.画直线$DE// BC$,DE 与 AB 相交于点 O.现将一个直角三角尺的直角顶点落在点 O 处,顶点 M,N 落在 DE 同侧,并使 OM 平分$∠AOD$.
(1)当$∠ABC= 54^{\circ }$时,求$∠AOM$的度数.
(2)画$∠ABC$的平分线 BF,那么 ON 与 BF 有怎样的位置关系? 为什么?

答案：
2.
(1)因为DE//BC,∠ABC=54°,所以∠ABC=∠AOE=54°.因为∠AOD+∠AOE=180°,所以∠AOD=126°.因为OM平分∠AOD,所以∠AOM=1/2∠AOD=63°.
(2)ON//BF,理由:如图,过点B作∠ABC的平分线BF,因为DE//BC,所以∠ABC+∠EOB=180°.因为∠EOB=∠AOD,所以∠ABC+∠AOD=180°.因为OM平分∠AOD,BF平分∠ABC,所以∠AOD=2∠AOM,∠ABC=2∠ABF,所以2∠AOM+2∠ABF=180°,∠AOM+∠ABF=90°.因为∠AOM+∠AON=90°,所以∠ABF=∠AON,所以ON//BF.
　　　　　　　

3. (2024·盐城期末)数学实验是学习数学的一种重要方式,有益于我们深入思考问题.小明同学在“数学实验与探究”课上借助三根足够长的细木棒 PQ,MN,GH 和一个含$30^{\circ }$角的直角三角板 ABC 探索相关结论.小明首先使木棒$MN// GH$,然后将直角三角板$30^{\circ }$角的顶点 A 放在 MN 上,$60^{\circ }$角的顶点 B 放在 GH 上,设$∠MAC= α,∠CBG= β$.
(1)如图①,三角板直角顶点 C 在 MN,GH 之间,猜想此时 α,β 的数量关系并说明理由.
(2)实验时,若始终保持木棒$MN// GH$,点 A 在 MN 上,点 B 在 GH 上.
①画图探索,点 C 是否有可能在 MN 上方或 GH 下方? 如果没有,请说明理由;如果有,请写出 α,β 的数量关系.
②如图②,小明放置木棒 PQ 时,使 PQ 与 MN,GH 均相交,且使$∠PQH= 70^{\circ }$.当直线 PQ 与直角三角板 ABC 的一边所在直线平行时,求 α,β 的度数.

答案：
3.
(1)α+β=90°,理由:因为MN//GH,所以∠MAB+∠ABG=180°,所以∠MAC+∠CAB+∠ABC+∠GBC=180°.又因为∠CAB=30°,∠ABC=60°,所以∠MAC+30°+60°+∠GBC=180°,所以∠MAC+∠GBC=90°.因为∠MAC=α,∠CBG=β,所以α+β=90°.
(2)①如图①,当点C在MN上方时,β - α=90°,理由:因为MN//GH,所以∠MAB=∠ABH.因为∠CAB=30°,∠ABC=60°,∠GBC+∠ABC+∠ABH=180°,即∠GBC+60°+∠ABH=180°,∠MAB+∠MAC=∠CAB=30°,所以∠ABH=120° - ∠GBC,∠MAB=30° - ∠MAC;又因为∠MAB=∠ABH,所以120° - ∠GBC=30° - ∠MAC,所以∠GBC - ∠MAC=90°,即β - α=90°;
　　 　　
如图②,当点C在GH下方时,α - β=90°,理由:因为MN//GH,所以∠BAN=∠GBA.因为∠CAB=30°,∠ABC=60°,∠MAC+∠CAB+∠BAN=180°,故∠MAC+30°+∠BAN=180°,∠GBC+∠GBA=∠ABC=60°,所以∠BAN=150° - ∠MAC,∠GBA=60° - ∠GBC.因为∠BAN=∠GBA,所以150° - ∠MAC=60° - ∠GBC,所以∠MAC - ∠GBC=90°,即α - β=90°;
②如图③,当AB//PQ时,因为AB//PQ,所以∠PQH=∠ABH=70°.又因为∠ABC=60°,所以∠CBH=∠ABH - ∠ABC=70° - 60°=10°,所以∠CBG=180° - ∠CBH=180° - 10°=170°,即β=170°.因为MN//GH,所以∠MAB=∠ABH=70°,所以∠MAC=∠MAB+∠BAC=70°+30°=100°,即α=100°,所以当AB//PQ 时,α=100°,β=170°;
　　 　　
如图④,当BC//PQ时,则∠CBH=∠PQH=70°,所以∠CBG=180° - ∠CBH=180° - 70°=110°,即β=110°,因为MN//GH，所以∠MAB=∠ABH=∠ABC+∠CBH=60°+70°=130°,所以∠MAC=∠MAB+∠BAC=130°+30°=160°,即α=160°,所以当BC//PQ时,α=160°,β=110°;
　　　　　　　
如图⑤,当AC//PQ时,因为MN//GH,所以∠NPQ=180° - ∠PQH=180° - 70°=110°.因为AC//PQ,所以∠ADH=∠PQH=70°,∠MAC=180° - ∠NPQ=180° - 110°=70°,即α=70°,所以∠BDC=∠ADH=70°,所以∠CBD=180° - ∠C - ∠BDC=180° - 90° - 70°=20°,所以∠CBG=180° - ∠CBD=180° - 20°=160°,即β=160°,所以当AC//PQ时,α=70°,β=160°.
综上所述,当AB//PQ时,α=100°,β=170°;当BC//PQ时,α=160°,β=110°;当AC//PQ时,α=70°,β=160°.