《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

3. 如图所示,点 C,B 是线段 AD 上的两点,$ AC:CB:BD = 3:1:4 $,点 E,F 分别是 AB,CD 的中点,且 $ EF = 14 $,求 AB,CD 的长.

答案： 3.设$AC=3x$,则$CB=x,BD=4x,AB=AC+CB=3x+x=4x,CD=CB+BD=x+4x=5x$.因为点E,F分别是AB,CD的中点,所以$BE=\frac {1}{2}AB=2x,CF=\frac {1}{2}CD=\frac {5}{2}x$.因为$EF=14$,所以$EB+CF-CB=14$,所以$2x+\frac {5}{2}x-x=14$,解得$x=4$,所以$AB=4x=16,CD=5x=20.$

4. 如图,已知线段 $ AB = 15cm $,$ CD = 3cm $,点 E 是 AC 的中点,点 F 是 BD 的中点.
(1)若 $ AC = 4cm $,求线段 EF 的长.
(2)当线段 CD 在线段 AB 上从左向右或从右向左运动时,试判断线段 EF 的长度是否发生变化? 若不变,请求出线段 EF 的长度；若变化,请说明理由.

答案： 4.
(1)因为$AC=4cm,CD=3cm,AB=15cm$,所以$BD=AB-AC-CD=15-4-3=8(cm)$.因为点E是AC的中点,点F是BD的中点,所以$EC=\frac {1}{2}AC=2cm,DF=\frac {1}{2}BD=4cm$,所以$EF=EC+CD+DF=2+3+4=9(cm).$
(2)线段EF的长度不发生变化.
因为点E是AC的中点,点F是BD的中点,所以$AE=\frac {1}{2}AC,BF=\frac {1}{2}BD$,所以$EF=AB-AE-BF=AB-\frac {1}{2}AC-\frac {1}{2}BD=AB-\frac {1}{2}(AC+BD)=AB-\frac {1}{2}(AB-CD)=15-\frac {1}{2}×(15-3)=9(cm).$