《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

1. (2025·扬州校级期末)已知点D为线段AB的中点,点C在线段AB上.
(1)如图①,若AC= 8 cm,BC= 6 cm,求线段CD的长；
(2)如图②,若BC= 2CD,点E为BD中点,CE= 2 cm,求线段AB的长.

答案： 1.
(1)因为点D是AB的中点,AC=8cm,BC=6cm,所以AD=BD=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AC+BC)=7$(cm),CD=BD-BC=7-6=1(cm).
(2)因为点D是AB的中点,所以AD=BD=$\frac{1}{2}AB$.因为点E为BD中点,所以BE=DE=$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{4}AB$.因为BC=2CD,所以CD=$\frac{1}{3}BD=\frac{1}{6}AB$,CE=DE-DC=$\frac{1}{4}AB-\frac{1}{6}AB=2$cm,即AB=24cm.

2. 如图,点P是定长线段AB上一点,C从点P,D从点B同时出发,分别以每秒a,b厘米的速度沿直线AB向左运动(C在线段AP上,D在线段BP上),并满足下列条件：
①关于m,n的单项式$2m^{2}n^{a}与-3m^{b}n$的和仍为单项式；
②C,D在运动过程中,总有PD= 2AC.
(1)直接写出：a=1,b=2；
(2)求出$\frac{AB}{AP}$的值,并说明理由；
$\frac{AB}{AP}=3$.理由:设C,D运动了t秒,则PC=t,BD=2t.设$\frac{AB}{AP}=k$,则AB=kAP,所以PB=(k-1)AP,所以AC=AP-CP=AP-t,PD=BP-BD=(k-1)AP-2t.因为PD=2AC,所以2(AP-t)=(k-1)AP-2t,所以k-1=2,k=3,所以$\frac{AB}{AP}=3$.
(3)在C,D运动过程中,M,N分别是CD,PB的中点,运动t秒时,恰好满足3AC= 2MN,求此时$\frac{AB}{CD}$的值.
设AP=a',由(2)知,PB=2a',所以PN=BN=a',BC=2a'+t,BD=2t,所以CD=(2a'+t)-2t=2a'-t,所以BM=$\frac{2a'-t}{2}+2t=\frac{2a'+3t}{2}$,MN=$\frac{2a'+3t}{2}-a'=\frac{3}{2}t$.当点C在线段AP上时,AC=a'-t.因为3AC=2MN,所以3(a'-t)=3t,解得a'=2t.所以CD=2×2t-t=3t,AB=3a'=6t,$\frac{AB}{CD}=\frac{6t}{3t}=2$.

答案： 2.
(1)1 2 解析:因为关于m,n的单项式$2m^{2}n^{a}$与$-3m^{b}n$的和仍为单项式,所以单项式$2m^{2}n^{a}$与$-3m^{b}n$是同类项,所以b=2,a=1.
(2)$\frac{AB}{AP}=3$.理由:设C,D运动了t秒,则PC=t,BD=2t.设$\frac{AB}{AP}=k$,则AB=kAP,所以PB=(k-1)AP,所以AC=AP-CP=AP-t,PD=BP-BD=(k-1)AP-2t.因为PD=2AC,所以2(AP-t)=(k-1)AP-2t,所以k-1=2,k=3,所以$\frac{AB}{AP}=3$.
(3)设AP=a',由
(2)知,PB=2a',所以PN=BN=a',BC=2a'+t,BD=2t,所以CD=(2a'+t)-2t=2a'-t,所以BM=$\frac{2a'-t}{2}+2t=\frac{2a'+3t}{2}$,MN=$\frac{2a'+3t}{2}-a'=\frac{3}{2}t$.当点C在线段AP上时,AC=a'-t.因为3AC=2MN,所以3(a'-t)=3t,解得a'=2t.所以CD=2×2t-t=3t,AB=3a'=6t,$\frac{AB}{CD}=\frac{6t}{3t}=2$.