《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

1. 如图,在数轴上点 $ A $ 表示数 $ a $,点 $ B $ 表示数 $ b $,点 $ C $ 表示数 $ c $, $ b $ 是最小的正整数,且 $ a,c $ 满足 $ \vert a + 2\vert+(c - 7)^2 = 0 $.
(1) $ a = $-2, $ b = $1, $ c = $7.
(2)点 $ P $ 从点 $ A $ 出发,以每秒 $ 2 $ 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,点 $ Q $ 从点 $ C $ 出发,沿数轴向左匀速运动,两点同时出发,当点 $ Q $ 运动到点 $ A $ 时,点 $ P,Q $ 停止运动.当 $ PB = 2PO $ 时,点 $ Q $ 运动到的位置恰好是线段 $ OA $ 的中点,求点 $ Q $ 的运动速度.(注:点 $ O $ 为数轴原点)

因为当PB=2PO时,点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点,所以点Q表示的数是-1,此时CQ=7-(-1)=8,由PB=2PO,可分两种情况:①当点P在OB上时,得OP=1/3OB=1/3,此时AP=AO+OP=2+1/3=7/3;所以点P运动的时间为7/3÷2=7/6(秒),所以点Q的运动速度为8÷7/6=48/7(个)单位长度/秒;②当点P在AO上时,得PO=OB=1,此时AP=AO-PO=2-1=1,所以点P的运动时间是1÷2=1/2(秒),所以点Q的运动速度为8÷1/2=16(个)单位长度/秒.综上,点Q的运动速度是每秒48/7个单位长度或者每秒16个单位长度.

答案：
(1)-2 1 7
(2)因为当PB=2PO时,点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点,所以点Q表示的数是-1,此时CQ=7-(-1)=8,由PB=2PO,可分两种情况:①当点P在OB上时,得OP=1/3OB=1/3,此时AP=AO+OP=2+1/3=7/3;所以点P运动的时间为7/3÷2=7/6(秒),所以点Q的运动速度为8÷7/6=48/7(个)单位长度/秒;②当点P在AO上时,得PO=OB=1,此时AP=AO-PO=2-1=1,所以点P的运动时间是1÷2=1/2(秒),所以点Q的运动速度为8÷1/2=16(个)单位长度/秒.综上,点Q的运动速度是每秒48/7个单位长度或者每秒16个单位长度.

2. 新定义(2024·德州期末)在数轴上, $ O $ 为原点,点 $ A,B $ 对应的数分别是 $ a,b(a\neq b,ab\neq 0) $, $ M $ 为线段 $ AB $ 的中点,给出如下定义:若 $ OA÷ OB = 4 $,则称 $ A $ 是 $ B $ 的“正比点”;若 $ OA× OB = 4 $,则称 $ A $ 是 $ B $ 的“反比点”,例如:当 $ a = 2,b= \frac{1}{2} $ 时, $ A $ 是 $ B $ 的“正比点”;当 $ a = 2,b = - 2 $ 时, $ A $ 是 $ B $ 的“反比点”.
(1)若 $ \vert a + 4\vert+(b - 8)^2 = 0 $,则 $ M $ 对应的数为2,下列说法正确的是③.(填序号)
① $ A $ 是 $ M $ 的“正比点”;② $ A $ 是 $ M $ 的“反比点”;③ $ B $ 是 $ M $ 的“正比点”;④ $ B $ 是 $ M $ 的“反比点”.
(2)若 $ ab\gt 0 $,且 $ M $ 是 $ A $ 的“正比点”,求 $ \frac{a}{b} $ 的值.因为M为线段AB的中点,所以点M表示的数为1/2(a+b).因为M是A的“正比点”,所以OM÷OA=4,所以1/2(a+b)÷a=4,所以b=7a,所以a/b=1/7.
(3)若 $ ab\lt 0 $,且 $ M $ 既是 $ A,B $ 其中一点的“正比点”,又是另一点的“反比点”,求 $ \frac{a}{b} $ 的值.因为ab＜0,所以a,b异号.因为M既是A,B其中一点的“正比点”,又是另一点的“反比点”,所以OM=4OA,OM×OB=4或OM=4OB,OM×OA=4,化简都得出OA×OB=1,所以ab=-1.分两种情况:①OM=4|a|,所以|(a+b)/2|=4|a|,所以(a+b)/2=4a或(a+b)/2=-4a,解得7a=b(舍去)或b=-9a,所以a/b=-1/9;②OM=4|b|,所以|(a+b)/2|=4|b|,所以(a+b)/2=4b或(a+b)/2=-4b,解得7b=a(舍去)或a=-9b,所以a/b=-9.综上,a/b的值为-9或-1/9.

答案：
(1)2 ③
(2)因为M为线段AB的中点,所以点M表示的数为1/2(a+b).因为M是A的“正比点”,所以OM÷OA=4,所以1/2(a+b)÷a=4,所以b=7a,所以a/b=1/7.
(3)因为ab＜0,所以a,b异号.因为M既是A,B其中一点的“正比点”,又是另一点的“反比点”,所以OM=4OA,OM×OB=4或OM=4OB,OM×OA=4,化简都得出OA×OB=1,所以ab=-1.分两种情况:①OM=4|a|,所以|(a+b)/2|=4|a|,所以(a+b)/2=4a或(a+b)/2=-4a,解得7a=b(舍去)或b=-9a,所以a/b=-1/9;②OM=4|b|,所以|(a+b)/2|=4|b|,所以(a+b)/2=4b或(a+b)/2=-4b,解得7b=a(舍去)或a=-9b,所以a/b=-9.综上,a/b的值为-9或-1/9.