《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

3. 如图,在数轴上点 A 表示数-10,点 B 表示数 6.
(1)A,B 两点之间的距离等于____;
(2)在数轴上有一个动点 P,它表示的数是 x,则$ |x + 3| + |x - 2| + |x - 5| $的最小值是____;
(3)若点 A 与点 C 之间的距离表示为 AC,点 B 与点 C 之间的距离表示为 BC,请在数轴上找一点 C,使 $ AC = 3BC $,则点 C 表示的数是____;
(4)若在原点 O 的左边 2 个单位长度处放一挡板,一小球 P 从点 A 处以 4 个单位长度/秒的速度向右运动,同时另一小球 Q 从点 B 处以 2 个单位长度/秒的速度向左运动,在碰到挡板后(忽略球的大小,可看作一点)两球分别以原来的速度向相反的方向运动;设运动时间为 t 秒,用含 t 的式子来表示两小球之间的距离 PQ 的长.

答案：
3.
(1)16
(2)8　解析:因为$|x + 3|+|x - 2|+|x - 5|$的意义是数轴上表示x的点到表示 - 3的点、表示2的点、表示5的点的距离之和,所以只有当表示x的点与表示2的点重合时，距离之和才能最小,即当x = 2时,距离之和最小.因为当x = 2时,$|x + 3|+|x - 2|+|x - 5|=|2 + 3|+|2 - 2|+|2 - 5| = 5 + 0 + 3 = 8$,所以$|x + 3|+|x - 2|+|x - 5|$的最小值为8.
(3)2或14　解析:设点C表示的数是x,因为在数轴上点A表示数 - 10,点B表示数6,所以$AC = |x + 10|$，$BC = |x - 6|$.因为AC = 3BC,所以$|x + 10| = 3|x - 6|$,所以x + 10 = 3(x - 6)或x + 10 = - 3(x - 6),解得x = 14或x = 2,所以点C表示的数是2或14.
(4)①当0＜t＜2时,如图:
　　　　
点P表示的数是 - 10 + 4t,点Q表示的数是6 - 2t,所以PQ = (6 - 2t) - (-10 + 4t) = 16 - 6t;
②当2≤t≤4时,如图:
　　　　
点P表示的数是 - 2 - (4t - 8),点Q表示的数是6 - 2t,所以PQ = (6 - 2t) - [-2 - (4t - 8)] = 2t;
③当t＞4时,如图:
　　　
点P表示的数是 - 2 - (4t - 8),点Q表示的数是 - 2 + (2t - 8),所以PQ = [-2 + (2t - 8)] - [-2 - (4t - 8)] = - 2 + 2t - 8 + 2 + 4t - 8 = 6t - 16.综上所述,$PQ=\begin{cases}16 - 6t(0＜t＜2), \\2t(2\leqslant t\leqslant 4), \\6t - 16(t＞4). \end{cases}$

4. 已知数轴上的点 A,B,C,D 所表示的数分别是 a,b,c,d,且$ (a + 14)^2 + (b + 12)^2 = - |c - 6| - |d - 8| $.
(1)求 a,b,c,d 的值.
(2)点 A,C 沿数轴同时出发相向匀速运动,$ \frac{10}{3} $秒后两点相遇,点 A 的速度为每秒 4 个单位长度,求点 C 的运动速度.
(3)A,C 两点以(2)中的速度从起始位置同时出发,向数轴正方向运动,与此同时,点 D 以每秒 1 个单位长度的速度向数轴正方向开始运动,在 t 秒时有 $ BD = 2AC $,求 t 的值.
(4)A,C 两点以(2)中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动,当点 A 运动到点 C 起始位置时,迅速以原来速度的 2 倍返回;到达出发点后,保持改后的速度又折返向点 C 起始位置方向运动;当点 C 运动到点 A 起始位置时马上停止运动.当点 C 停止运动时,点 A 也停止运动.在此运动过程中,A,C 两点相遇,求点 A,C 相遇时在数轴上对应的数.(请直接写出答案)

答案： 4.
(1)因为$(a + 14)^2+(b + 12)^2=-|c - 6|-|d - 8|$,所以$(a + 14)^2+(b + 12)^2+|c - 6|+|d - 8| = 0$,所以a = - 14,b = - 12,c = 6,d = 8.
(2)设点C的运动速度为每秒x个单位长度，由题意得$\frac{10}{3}x+\frac{10}{3}×4 = AC = 20$,解得x = 2,所以点C的运动速度为每秒2个单位长度.
(3)t秒时，点A表示的数为 - 14 + 4t,点B表示的数为 - 12,点C表示的数为6 + 2t,点D表示的数为8 + t,所以$AC = |6 + 2t - (-14 + 4t)| = |20 - 2t|$,BD = 8 + t - (-12) = 20 + t.因为BD = 2AC,所以①当20 - 2t≥0,即0＜t≤10时,20 + t = 2(20 - 2t),解得t = 4;②当20 - 2t＜0,即t＞10时,20 + t = 2(2t - 20),解得t = 20.所以t = 4或20.
(4)点A,C相遇时在数轴对应的数为$-\frac{2}{3}$或$-\frac{22}{3}$或 - 10.
解析:点C运动到点A所需时间为$\frac{6 - (-14)}{2}=10$(秒),所以点A,C相遇时间t≤10,由
(2)得4t + 2t = 20,解得$t=\frac{10}{3}$,此时A,C相遇点对应的数为$-14 + 4×\frac{10}{3}=-\frac{2}{3}$.点A到点C起始位置再从点C起始位置返回到点A起始位置，用时$\frac{6 - (-14)}{4}+\frac{6 - (-14)}{8}=7.5$(秒).
①点A第一次从点C起始位置出发后,若与点C相遇,根据题意得$8×\left[t-\frac{6 - (-14)}{4}\right]=2t$,$t=\frac{20}{3}＜10$,此时相遇点为$6 - 2×\frac{20}{3}=-\frac{22}{3}$;②点A第三次与点C相遇,得8×(t - 7.5) + 2t = 6 - (-14),解得t = 8＜10,此时相遇点对应的数为6 - 8×2 = - 10.所以点A,C相遇时在数轴上对应的数为$-\frac{2}{3}$或$-\frac{22}{3}$或 - 10.