《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

1. 如图,已知 $ \angle AOB $ 内部有三条射线,其中 $ OE $ 平分 $ \angle BOC $,$ OF $ 平分 $ \angle AOC $。
(1) 如图①,若 $ \angle AOB = 120^{\circ} $,$ \angle AOC = 30^{\circ} $,求 $ \angle EOF $ 的度数；
(2) 如图②,若 $ \angle AOB = \alpha $,求 $ \angle EOF $ 的度数；(用含 $ \alpha $ 的式子表示)
(3) 若将题中“平分”的条件改为“$ \angle EOB = \frac{1}{3} \angle BOC $,$ \angle COF = \frac{2}{3} \angle AOC $,且 $ \angle AOB = \alpha $”,求 $ \angle EOF $ 的度数。(用含 $ \alpha $ 的式子表示)

答案： 1.
(1)∠BOC=∠AOB-∠AOC=120°-30°=90°,因为 OE 平分∠BOC,OF 平分∠AOC,所以∠EOC= $\frac{1}{2}$∠BOC= $\frac{1}{2}$×90°=45°,∠COF= $\frac{1}{2}$∠AOC= $\frac{1}{2}$×30°=15°,所以∠EOF=∠EOC+∠COF=45°+15°=60°.
(2)因为 OE 平分∠BOC,OF 平分∠AOC,所以∠EOC= $\frac{1}{2}$∠BOC,∠COF= $\frac{1}{2}$∠AOC,所以∠EOF=∠EOC+∠COF= $\frac{1}{2}$∠BOC+ $\frac{1}{2}$∠AOC= $\frac{1}{2}$(∠BOC+∠AOC)= $\frac{1}{2}$∠AOB= $\frac{1}{2}$α.
(3)因为∠EOB= $\frac{1}{3}$∠BOC,所以∠EOC= $\frac{2}{3}$∠BOC.又因为∠COF= $\frac{2}{3}$∠AOC,所以∠EOF=∠EOC+∠COF= $\frac{2}{3}$∠BOC+ $\frac{2}{3}$∠AOC= $\frac{2}{3}$(∠BOC+∠AOC)= $\frac{2}{3}$∠AOB= $\frac{2}{3}$α.

2. 如图,$ OB $ 是 $ \angle AOC $ 的平分线,$ OD $ 是 $ \angle COE $ 的平分线。
(1) 如果 $ \angle AOC = 70^{\circ} $,$ \angle COE = 50^{\circ} $,求 $ \angle BOD $ 的度数；
(2) 如果 $ \angle AOE = 160^{\circ} $,求 $ \angle BOD $ 的度数；
(3) 如果 $ OM $ 平分 $ \angle AOE $,$ \angle COD : \angle BOC = 2 : 3 $,$ \angle COM = 15^{\circ} $,求 $ \angle BOD $ 的度数。

答案： 2.
(1)因为 OB 平分∠AOC,∠AOC=70°,所以∠BOC= $\frac{1}{2}$∠AOC=35°.因为 OD 平分∠COE,∠COE=50°,所以∠COD= $\frac{1}{2}$∠COE=25°,所以∠BOD=∠BOC+∠COD=35°+25°=60°.
(2)因为 OB 平分∠AOC,OD 平分∠COE,所以∠COD= $\frac{1}{2}$∠COE,∠BOC= $\frac{1}{2}$∠AOC,所以∠BOD=∠COD+∠BOC= $\frac{1}{2}$∠COE+ $\frac{1}{2}$∠AOC= $\frac{1}{2}$(∠COE+∠AOC)= $\frac{1}{2}$∠AOE=80°.
(3)因为∠COD:∠BOC=2:3,所以设∠COD=2x,则∠BOC=3x.因为 OB 平分∠AOC,OD 平分∠COE,所以∠COE=2∠COD=4x,∠AOC=2∠BOC=6x,所以∠AOE=10x.因为 OM 平分∠AOE,所以∠EOM= $\frac{1}{2}$∠AOE=5x.因为∠EOM-∠COE=∠COM=15°,所以5x-4x=15°,所以x=15°,所以∠BOD=∠COD+∠BOC=2x+3x=75°.