《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

1. (2025·重庆期中)用“⊕”和“Δ”定义一种新运算:对于任意有理数 m,n,p,规定:$m\oplus nΔp= |m-p|+|n-p|$,如:$4\oplus 3Δ1= |4-1|+|3-1|= 5.$
(1)计算:$(-5)\oplus 7Δ1= $12;
(2)若$a\oplus 3Δ2= 4$,则$a= $-1 或 5;
(3)若$x_{0}\oplus x_{1}Δ1= 1,x_{1}\oplus x_{2}Δ2= 1,x_{2}\oplus x_{3}Δ3= 1,... ,x_{30}\oplus x_{31}Δ31= 1$,当$0\lt x_{0}＜1$时,求$x_{0}+x_{1}+x_{2}+... +x_{30}$的值.(用含$x_{0}$的式子表示)
由题意得|x₀-1|+|x₁-1|=1，|x₁-2|+|x₂-2|=1，|x₂-3|+|x₃-3|=1，…，|x₃₀-31|+|x₃₁-31|=1.因为 0＜x₀＜1，所以 1-x₀+|x₁-1|=1，所以|x₁-1|=x₀.因为|x₁-2|+|x₂-2|=1，所以 x₁＞1，所以 x₁-1=x₀，所以 x₁=x₀+1，所以|x₀+1-2|+|x₂-2|=1，即|x₀-1|+|x₂-2|=1，所以 1-x₀+|x₂-2|=1，所以|x₂-2|=x₀.因为|x₂-3|+|x₃-3|=1，所以 x₂＞2，所以 x₂-2=x₀，所以 x₂=x₀+2，同理可得 x₃=x₀+3，…，x₃₀=x₀+30，所以 x₀+x₁+x₂+…+x₃₀=x₀+(x₀+1)+(x₀+2)+…+(x₀+30)=31x₀+(1+30)×15=31x₀+465.

答案： 1.
(1)12
(2)-1 或 5
(3)由题意得|x₀-1|+|x₁-1|=1，|x₁-2|+|x₂-2|=1，|x₂-3|+|x₃-3|=1，…，|x₃₀-31|+|x₃₁-31|=1.因为 0＜x₀＜1，所以 1-x₀+|x₁-1|=1，所以|x₁-1|=x₀.因为|x₁-2|+|x₂-2|=1，所以 x₁＞1，所以 x₁-1=x₀，所以 x₁=x₀+1，所以|x₀+1-2|+|x₂-2|=1，即|x₀-1|+|x₂-2|=1，所以 1-x₀+|x₂-2|=1，所以|x₂-2|=x₀.因为|x₂-3|+|x₃-3|=1，所以 x₂＞2，所以 x₂-2=x₀，所以 x₂=x₀+2，同理可得 x₃=x₀+3，…，x₃₀=x₀+30，所以 x₀+x₁+x₂+…+x₃₀=x₀+(x₀+1)+(x₀+2)+…+(x₀+30)=31x₀+(1+30)×15=31x₀+465.

2. 在数轴上,点 A 表示的数为 1,点 B 表示的数为 3,对于数轴上的图形 M,给出如下定义:P 为图形 M 上任意一点,Q 为线段 AB 上任意一点,如果线段 PQ 的长度有最小值,那么称这个最小值为图形 M 关于线段 AB 的极小距离,记作$d_{1}$(M,线段 AB);如果线段 PQ 的长度有最大值,那么称这个最大值为图形 M 关于线段 AB 的极大距离,记作$d_{2}$(M,线段 AB).
例如:点 K 表示的数为 4,则$d_{1}$(点 K,线段$AB)= 1,d_{2}$(点 K,线段$AB)= 3.$

已知点 O 为数轴原点,点 C,D 为数轴上的动点.
(1)$d_{1}$(点 O,线段$AB)= $1,$d_{2}$(点 O,线段$AB)= $3;
(2)若点 C 表示数 m,点 D 表示数$m+2,d_{1}$(线段 CD,线段$AB)= 2$,求 m 的值;
当线段 CD 在线段 AB 左侧时：$d_{1}$(线段 CD,线段 AB)$=1-(m+2)=2$，解得$m=-3$；当线段 CD 在线段 AB 右侧时：$d_{1}$(线段 CD,线段 AB)$=m-3=2$，解得$m=5$。综上，$m=-3$或$m=5$。
(3)点 C 从原点出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴正方向匀速运动,点 D 从表示数-2 的点出发,第 1 秒以每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴正方向匀速运动,第 2 秒以每秒 4 个单位长度的速度沿 x 轴负方向匀速运动,第 3 秒以每秒 6 个单位长度的速度沿 x 轴正方向匀速运动,第 4 秒以每秒 8 个单位长度的速度沿 x 轴负方向匀速运动,…,按此规律运动,C,D 两点同时出发,求经过多长时间后$d_{2}$(线段 CD,线段$AB)= 6.$
设$t\ \text{s}$时，$d_{2}$(线段 CD,线段 AB)$=6$。根据题意得当$t=0$时，点 C 表示的数为 0，点 D 表示的数为-2，此时$d_{2}$(线段 CD,线段 AB)$=3-(-2)=5$；当$t=1$时，点 C 表示的数为 2，点 D 表示的数为 0，此时$d_{2}$(线段 CD,线段 AB)$=3-0=3$；当$t=2$时，点 C 表示的数为 4，点 D 表示的数为-4，此时$d_{2}$(线段 CD,线段 AB)$=3-(-4)=7$；当$t=3$时，点 C 表示的数为 6，点 D 表示的数为 2，此时$d_{2}$(线段 CD,线段 AB)$=6-1=5$；当$t=4$时，点 C 表示的数为 8，点 D 表示的数为-6，此时$d_{2}$(线段 CD,线段 AB)$=3-(-6)=9$；当$t=5$时，点 C 表示的数为 10，点 D 表示的数为 4，此时$d_{2}$(线段 CD,线段 AB)$=10-1=9$；此后，点 C 表示的数大于 10，$d_{2}$(线段 CD,线段 AB)总大于 6。所以当$1\lt t\lt2$或$2\lt t\lt3$或$3\lt t\lt4$时，存在$d_{2}$(线段 CD,线段 AB)$=6$。当$1\lt t\lt2$时，点 C 表示的数为$2t$，点 D 表示的数为$-4(t-1)$，此时$d_{2}$(线段 CD,线段 AB)$=3-[-4(t-1)]=6$，得$t=\frac{7}{4}$；当$2\lt t\lt3$时，点 C 表示的数为$2t$，点 D 表示的数为$-4 + 6(t - 2)$，此时$d_{2}$(线段 CD,线段 AB)$=3-[-4 + 6(t - 2)]=6$，得$t=\frac{13}{6}$；当$3\lt t\lt4$时，点 C 表示的数为$2t$，点 D 表示的数为$2 - 8(t - 3)$，此时$d_{2}$(线段 CD,线段 AB)$=2t - 1=6$或$3-[2 - 8(t - 3)]=6$，得$t=\frac{7}{2}$或$t=\frac{29}{8}$。综上所述，C,D 两点同时出发$\frac{7}{4}\ \text{s}$或$\frac{13}{6}\ \text{s}$或$\frac{7}{2}\ \text{s}$或$\frac{29}{8}\ \text{s}$时，$d_{2}$(线段 CD,线段 AB)$=6$。

答案： 2.
(1)1 3 解析:因为点 O 到线段 AB 的最小距离为 1-0=1，所以 d₁(点 O,线段 AB)=1.因为点 O 到线段 AB 的最大距离为 3-0=3，所以 d₂(点 O,线段 AB)=3.
(2)当线段 CD 在线段 AB 左侧时:d₁(线段 CD,线段 AB)=1-(m+2)=2，解得 m=-3；当线段 CD 在线段 AB 右侧时:d₁(线段 CD,线段 AB)=m-3=2，解得 m=5.综上,m=-3 或 m=5.
(3)设 t s 时,d₂(线段 CD,线段 AB)=6,根据题意得当 t=0 时,点 C 表示的数为 0,点 D 表示的数为-2,此时 d₂(线段 CD,线段 AB)=3-(-2)=5；当 t=1 时,点 C 表示的数为 2,点 D 表示的数为 0,此时 d₂(线段 CD,线段 AB)=BD=3-0=3；当 t=2 时,点 C 表示的数为 4,点 D 表示的数为-4,此时 d₂(线段 CD,线段 AB)=BD=3-(-4)=3+4=7；当 t=3 时,点 C 表示的数为 6,点 D 表示的数为 2,此时 d₂(线段 CD,线段 AB)=AC=6-1=5；当 t=4 时,点 C 表示的数为 8,点 D 表示的数为-6,此时 d₂(线段 CD,线段 AB)=BD=3-(-6)=3+6=9；当 t=5 时,点 C 表示的数为 10,点 D 表示的数为 4,此时 d₂(线段 CD,线段 AB)=AC=10-1=9；此后,点 C 表示的数大于 10,d₂(线段 CD,线段 AB)总大于 6.所以当 1＜t＜2 或 2＜t＜3 或 3＜t＜4 时,存在 d₂(线段 CD,线段 AB)=6.当 1＜t＜2 时,点 C 表示的数为 2t,点 D 表示的数为-4(t-1),此时 d₂(线段 CD,线段 AB)=3-[-4(t-1)]=6,得 t=7/4；当 2＜t＜3 时,点 C 表示的数为 2t,点 D 表示的数为-4+6(t-2),此时 d₂(线段 CD,线段 AB)=3-[-4+6(t-2)]=6,得 t=13/6；当 3＜t＜4 时,点 C 表示的数为 2t,点 D 表示的数为 2-8(t-3),此时 d₂(线段 CD,线段 AB)=2t-1=6 或 3-[2-8(t-3)]=6,得 t=7/2 或 t=29/8.综上所述,C,D 两点同时出发 7/4 s 或 13/6 s 或 7/2 s 或 29/8 s 时,d₂(线段 CD,线段 AB)=6.